Question

已知關于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+2k+1=0．
（1）求證：該方程必有兩個實數(shù)根；
（2）設方程的兩個實數(shù)根分別是x₁，x₂，若y₁是關于x的函數(shù)，且y₁=mx-1，其中m=x₁x₂，求這個函數(shù)的解析式；
（3）設y₂=kx²+（3k+1）x+2k+1，若該一元二次方程只有整數(shù)根，且k是小于0的整數(shù)．結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當自變量x滿足什么條件時，y₂＞y₁？

Answer 1

分析：（1）用根的判別式判斷根的情況；
（2）用一元二次方程根與系數(shù)的關系，可以求出關于y₁解析式；
（3）根據(jù)已知方程只有整數(shù)根且k是小于0的整數(shù)確定出k的值，進而確定兩個函數(shù)的解析式，求出兩個函數(shù)的交點坐標，在坐標系中畫出圖象，再確定出y₂＞y₁時的x的取值范圍．

解答：（1）證明：∵a=k，b=3k+1，c=2k+1，
∴△=b²-4ac
=9k²+6k+1-4k（2k+1）
=9k²+6k+1-8k²-4k=k²+2k+1
=（k+1）²≥0，
∴方程必有兩個實數(shù)根；

（2）解：∵方程的兩個實數(shù)根分別是x₁，x₂，
∴x₁x₂=2+

1

k

，
而m=x₁x₂，y₁=mx-1，
∴y1=(2+

1

k

)x-1；

（3）解：∵方程只有整數(shù)根且k是小于0的整數(shù)，
∴x2=-2-

1

k

要為整數(shù)，只能

1

k

為整數(shù)，
∴k=-1，
∴y₂=-x²-2x-1，y₁=x-1，
∴y₁與y₂的交點坐標為A（-3，-4）B（0，-1），
∴在坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象如圖所示，
由圖象可知：
當-3＜x＜0時，y₂＞y₁．

點評：本題有一定的難度，先用到一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關系來確定方程有根和函數(shù)的解析式，再求出了兩函數(shù)的交點坐標，從而在坐標系中畫出圖象，確定出x的取值范圍．