Question

已知關(guān)于x的方程7x³-7（p+2）x²+（44p-1）x+2=60p（*）
①求證：不論p為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程（*）有固定的自然數(shù)解，并求這自然數(shù)．
②設(shè)方程另外的兩個(gè)根為u、v，求u、v的關(guān)系式．
③若方程（*）的三個(gè)根均為自然數(shù)，求p的值．

Answer 1

①原方程整理得：（7x³-14x²-x+2）-（7x²-44x+60）p=0
解方程7x²-44x+60=0得x₁=2，x₂=

30

7

，
當(dāng)x=2時(shí)，7x³-14x²-x+2=0，故所求自然數(shù)為2；
②∵x=2是方程的固定解，
∴（x-2）是方程的一個(gè)因式，原方程分解為，
（x-2）（7x²-7px+30p-1）=0
∴u、v是方程7x²-7px+30p-1=0的兩根，
∴u+v=p，uv=

30p-1

7

．
③由②可知，當(dāng)p=18時(shí)，方程三個(gè)根均為自然數(shù)．