Question

（2005•揚州）已知拋物線y=x²+（2n-1）x+n²-1（n為常數(shù)）．
（1）當(dāng)該拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)A是（1）所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側(cè)的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C．
①當(dāng)BC=1時，求矩形ABCD的周長；
②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標(biāo)．如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將原點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出n的值，然后根據(jù)拋物線頂點在第四象限將不合題意的n值舍去，即可得出所求的二次函數(shù)解析式；
（2）①先根據(jù)拋物線的解析式求出拋物線與x軸另一交點E的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和矩形的對稱性可知：OB的長，就是OE與BC的差的一半，由此可求出OB的長，即B點的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中即可求出B點縱坐標(biāo)，也就得出了矩形AB邊的長．進(jìn)而可求出矩形的周長；
②思路同①可設(shè)出A點坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式表示縱坐標(biāo)），也就能表示出B點的坐標(biāo)，即可得出OB的長，同①可得出BC的長，而AB的長就是A點縱坐標(biāo)的絕對值，由此可得出一個關(guān)于矩形周長和A點縱坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得出矩形周長的最大值及對應(yīng)的A的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由已知條件，得n²-1=0
解這個方程，得n₁=1，n₂=-1
當(dāng)n=1時，得y=x²+x，此拋物線的頂點不在第四象限．
當(dāng)n=-1時，得y=x²-3x，此拋物線的頂點在第四象限．
∴所求的函數(shù)關(guān)系為y=x²-3x；

（2）由y=x²-3x，
令y=0，得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3
∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0）
∴它的頂點為（，），對稱軸為直線x=，其大致位置如圖所示，
①∵BC=1，易知OB=×（3-1）=1．
∴B（1，0）
∴點A的橫坐標(biāo)x=1，又點A在拋物線y=x²-3x上，
∴點A的縱坐標(biāo)y=1²-3×1=-2．
∴AB=|y|=|-2|=2．
∴矩形ABCD的周長為：2（AB+BC）=2×（2+1）=6．
②∵點A在拋物線y=x²-3x上，故可設(shè)A點的坐標(biāo)為（x，x²-3x），
∴B點的坐標(biāo)為（x，0）．（0＜x＜）
∴BC=3-2x，A在x軸下方，
∴x²-3x＜0，
∴AB=|x²-3x|=3x-x²
∴矩形ABCD的周長，
C=2[（3x-x²）+（3-2x）]=-2（x-）²+，
∵a=-2＜0，拋物線開口向下，二次函數(shù)有最大值，
∴當(dāng)x=時，矩形ABCD的周長C最大值為．
此時點A的坐標(biāo)為A（，）．
點評：本題主要考查二次函數(shù)解析式的確定以及二次函數(shù)的應(yīng)用．