Question

已知：如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線AB交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，其解析式為y=-

3

4

x+2．又O₁是x軸上一點(diǎn)，且⊙O₁與直線AB切于點(diǎn)C，與y軸切于原點(diǎn)O．
（1）求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；
（2）以AO為直徑作⊙O₂，交直線AB于D，交⊙O₁于N，連ON并延長(zhǎng)交CD于G，求△ODG的面積；
（3）另有一圓過(guò)點(diǎn)O₁，與y軸切于點(diǎn)O₂，與直線AB交于M、P兩點(diǎn)，求證：O₁M•O₁P=2．

Answer 1

分析：（1）由解析式解出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)C點(diǎn)作CH垂直x軸，進(jìn)而求縱橫坐標(biāo)．
（2）設(shè)直線AB與⊙O₂的交點(diǎn)為D連接兩點(diǎn)，求出CD，然后求出DG，從而求出面積．
（3）連接O₁C，設(shè)⊙O₁半徑為r，由相似定理，進(jìn)而證明．

解答：（1）解：由y=-

3

4

x+2，得OA=2，OB=

8

3

∴AB=

10

3

，
由AC=2，得CB=

4

3

，
過(guò)C點(diǎn)作CH⊥x軸，垂足為H，得CH∥y軸，
則

CH

AO

=

CB

AB

，
CH=

4

5

，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為

4

5

．

（2）解：∵OA為⊙O₂的直徑，
∴OD⊥AB，
由OD•AB=OA•0B，得OD=

8

5

，
則AD=

AO2-OD2

=

6

5

，
CD=2-

6

5

=

4

5

．
設(shè)DG=x，由切割線定理得GD•GA=GN•GO．
∴x（x+

6

5

）=（

4

5

-x）²．解得：x=

8

35

，∴DG=

8

35

，
∴S_△ODG=

1

2

OD•DG=

32

175

．

（3）證明：連接O₁C，設(shè)⊙O₁半徑為r，
將C點(diǎn)縱坐標(biāo)

4

5

代入y=-

3

4

x+2，得x=

8

5

，
∴OH=

8

5

，O₁H=

8

5

-r．
在Rt△CHO₁中，由勾股定理得(

4

5

)2=r2-(

8

5

-r)2，
解得：r=1．
故⊙O₁和⊙O₂都是半徑為1的等圓，
過(guò)點(diǎn)O₁且與y軸切于點(diǎn)O₂的圓是以N為圓心，1為半徑的圓．
作⊙N的直徑O₁Q，連接PQ．O₁Q=2，O₁C=1．
∵∠PQO₁=∠CMO₁，
∴Rt△PQO₁∽R(shí)t△CMO₁，
∴

O1Q

O1M

=

O1P

O1C

，
∴O₁M•O₁P=O₁Q•O₁C=2×1=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，本題比較煩，計(jì)算和證明都要仔細(xì)．