Question

閱讀下列材料：
1×2 = ×(1×2×3－0×1×2)，
2×3 = ×(2×3×4－1×2×3)，
3×4 = ×(3×4×5－2×3×4)，
由以上三個等式相加，可得
1×2＋2×3＋3×4 = ×3×4×5 = 20。
讀完以上材料，請你計算下列各題：
（1）1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（寫出過程）；
（2）1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) = _________；
（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 = _________。

Answer 1

（1）原式      （2）      
（3）1260

考點：
專題： 規(guī)律型．
分析：（1）根據(jù)題目信息列出算式，然后提取，進(jìn)行計算即可得解；
（2）觀察不難發(fā)現(xiàn)，兩個連續(xù)的自然數(shù)的積等于這兩個數(shù)與后面的數(shù)的積減去與前面的數(shù)的積的
，然后列出算式進(jìn)行計算即可得解；
（3）根據(jù)（2）的規(guī)律類比列式進(jìn)行計算即可得解．
解答：解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11，
=×（1×2×3-0×1×2）+×（2×3×4-1×2×3）+×（3×4×5-2×3×4）+…+×（10×11×12-9×10×11），
=×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11），
=×10×11×12，
=440；
（2）∵1×2+2×3+3×4=×3×4×5，
∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=n（n+1）（n+2）；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=
×7×8×9×10=1260．
故答案為：
n（n+1）（n+2）；1260．
點評：本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，難度較大，（3）利用類比的思想求解即可，觀察出（2）的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．