Question

如圖，在正方形ABCD中，E為正方形ABCD內(nèi)一點，且∠AEB=90°，tan∠BAE=

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，將△ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBF，連接EF、AC、CE，G為AE的中點，連接CG．有下列結(jié)論：
①△BEF為等腰直角三角形；②S_{正方形ABCD}=8S_△ECG；③∠ECB=∠CAG；④CG=AD．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，△ABE≌△CBF，由全等三角形的對應(yīng)邊相等證得結(jié)論；
②作輔助線AH構(gòu)建正方形EHFB，然后結(jié)合已知條件“∠AEB=90°，tan∠BAE=

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”求得正方形ABCD的邊長與△CGE的邊長間的數(shù)量關(guān)系，從而求得正方形ABCD與△CEG的面積間的數(shù)量關(guān)系；
③根據(jù)正方形的對角線平分對角以及三角形外角定理證得結(jié)論；
④將CG、BC的長度轉(zhuǎn)化為與線段BE的長度的關(guān)系，然后比較它們的長短．

解答：解：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，△ABE≌△CBF，則BE=BF，所以△BEF為等腰直角三角形；故本選項正確；
②∵∠AEB=90°，tan∠BAE=

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，
∴AE=2BE．
又∵由①知，△ABE≌△CBF，
則BE=BF，AE=CF，∠CFB=∠AEB=90°，
∴BC=

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BF=

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BE．
∴S_{正方形ABCD}=BC²=5BE²．
延長AE交CF于點H．
易證四邊形EHFB為正方形，則BE=EH=HF=FB，
∴CH=CF-FH=AE-BE=BE．
∵點G是AE的中點，
∴8S_△ECG=8×

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S_△ACE=8×

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2

×

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AE•CH=2×2BE×BE=4BE²＜S_{正方形ABCD}，
故本選項錯誤；
③∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，
∴∠ECB=45°-∠ACE．
∵CH=HF，EH⊥CF，
∴∠CEH=∠FEH．
又∵由②知四邊形EHFB為正方形，則∠HEF=45°，
∴∠CEH=45°，
∴∠CAG=∠CAE=∠CEH-∠ACE=45°-∠ACE，
∴∠ECB=∠CAG；
故本選項正確；
④在直角△GCH中，CH=BE，GH=2BE，則根據(jù)勾股定理知CG=

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BE=BC，即CG=BC．
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC，
∴CG=AD．
故本選項正確；
綜上所述，正確的個數(shù)有3個；
故選C．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計算．注意，此題的輔助線的作法．