(2004•長沙)如圖,等腰梯形ABCD,AD∥BC,AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P為下底BC上一點(不與B、C重合),連接AP,過P作∠APE=∠B,交DC于E.
(1)求證:△ABP∽△PCE;
(2)求等腰梯形的腰AB的長;
(3)在底邊BC上是否存在一點P,使得DE:EC=5:3?如果存在,求BP的長;如果不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)欲證△ABP∽△PCE,需找出兩組對應(yīng)角相等;由等腰梯形的性質(zhì)可得出∠B=∠C,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證得∠EPC=∠BAP;由此得證;
(2)可過作AF⊥BC于F,由等腰梯形的性質(zhì)得到AF是BC、AD差的一半,在Rt△ABF中,根據(jù)∠B的度數(shù)及BF的長即可求得AB的值;
(3)在(2)中求得了AB的長,即可求出DE:EC=5:3時,DE、CE的值.設(shè)BP的長為x,進而可表示出PC的長,然后根據(jù)(1)的相似三角形,可得出關(guān)于AB、BP、PC、CE的比例關(guān)系式,由此可得出關(guān)于x的分式方程,若方程有解,則x的值即為BP的長.若方程無解,則說明不存在符合條件的P點.
解答:(1)證明:由∠APC為△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP;
∵∠B=∠APE
∴∠EPC=∠BAP
∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE;

(2)解:過A作AF⊥BC于F;
∵等腰梯形ABCD中,AD=3cm,BC=7cm,
∴BF=,
∵Rt△ABF中,∠B=60°,BF=2;
∴AB=4cm;

(3)解:存在這樣的點P.
理由是:∵
解之得EC=cm.
設(shè)BP=x,則PC=7-x
由△ABP∽△PCE可得
=,
∵AB=4,PC=7-x,
=
解之得x1=1,x2=6,
經(jīng)檢驗都符合題意,
即BP=1cm或BP=6cm.
點評:此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì),以及相似三角形的判定和性質(zhì).
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