Question

（2013•江北區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直角梯形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，

3

），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，

3

），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，過點(diǎn)O且以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以Q為圓心的圓同時(shí)與y軸、直線OP相切？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)M為線段OP上一動(dòng)點(diǎn)（不與O點(diǎn)重合），過點(diǎn)O、M、D的圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)N．求證：OM+ON為定值．
（4）在y軸上找一點(diǎn)H，使∠PHD最大．試求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，

3

），所以可設(shè)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+

3

，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過原點(diǎn)，所以把（0，0）代入求出a的值即可求出拋物線的解析式，設(shè)y=0，則可求出拋物線和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)Q，使以Q為圓心的圓同時(shí)與y軸、直線OP相切，此題要分兩種情況討論：①若⊙Q在直線OP上方②若⊙Q在直線OP下方，再分別求出符合題意的Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（3）由圓周角定理可證明MD=ND，進(jìn)而證明△NAD≌△MPD（HL），由全等三角形的性質(zhì)可得MP=AN，所以O(shè)M+ON=OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=

3

，則OM+ON=2

3

，即OM+ON為定值；       
（4）作過P、D兩點(diǎn)且與y軸相切于點(diǎn)H的圓S，則由圓周角大于圓外角可知，∠PHD最大，S（x，y），則由HS=SD=SP，繼而求出點(diǎn)H坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，

3

），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+

3

，
將（0，0）代入，得a+

3

=0，a=-

3

，
∴拋物線的解析式為y=-

3

(x-1)2+

3

，
即 y=-

3

x2+2

3

x，
設(shè)y=0，則x=0或2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
∵點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，
∴P(

3

2

，

3

2

)；

（2）在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)Q，使以Q為圓心的圓同時(shí)與y軸、直線OP相切，
理由如下：
①若⊙Q在直線OP上方，則Q與D點(diǎn)重合，此時(shí)Q₁(1，

3

)；
②若⊙Q在直線OP下方，與y軸、直線OP切于E、F，
則QE=QF，QE⊥y軸，QF⊥OP，
∴OQ平分∠EOF，
∵∠EOF=120°，
∴∠FOQ=60°，
∵∠POC=30°，則∠QOC=30°，
設(shè)Q(m，-

3

3

m)，則-

3

3

m=-

3

m2+2

3

m，
解得m₁=0（舍去），m2=

7

3

，
∴Q2(

7

3

，-

7 3

9

)；

（3）證明：∵在過點(diǎn)O、M、D的圓中，有∠MOD=∠NOD，
∴

MD

=

ND

，
∴MD=ND，
易得OD平分∠AOP，DA⊥y軸，DP⊥OP，
∴DA=DP，
可證得△NAD≌△MPD（HL），
∴MP=AN，
∴OM+ON=OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=

3

，
則OM+ON=2

3

，即OM+ON為定值；        

（4）作過P、D兩點(diǎn)且與y軸相切于點(diǎn)H的圓S，
則由圓周角大于圓外角可知，∠PHD最大．     
設(shè)S（x，y），則由HS=SD=SP，
可得，y=2

3

±6，
∵0＜y＜

3

，
∴H（0，2

3

-6）．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的運(yùn)用、角平分線的性質(zhì)以及考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，題目的綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求很高．