Question

如圖，平行四邊形ABCD中，EF過AC的中點O，與邊AD、BC分別相交于點E、F。
（1）試說明四邊形AECF是平行四邊形。
（2）若EF過AC的中點，且與AC垂直時，試說明四邊形AECF是菱形。
（3）當EF與AC有怎樣的數量和位置關系時，四邊形AECF是矩形。

Answer 1

證明：
（1）在□ABCD中
AD∥BC
∴∠EAC =∠ACF  ∠AEF =∠CFE
∵O是AC的中點
∴OA=OC
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
又∵OA=OC
∴四邊形AECF是平行四邊形
（2）由（1）可知四邊形AECF是平行四邊形
∵ EF⊥AC
∴ 四邊形AECF是菱形
（3）當EF = AC時，四邊形AECF是矩形。
理由：由（1）可知四邊形AECF是平行四邊形
∵EF = AC
∴ 四邊形AECF是矩形  

（1）根據平行四邊形及O是AC的中點，推出△AOE≌△COF，即得OE=OF；
（2）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形推出即可；
（3）根據對角線相等的平行四邊形是矩形推出即可．