Question

已知1+x+x²=0，求代數(shù)式1+x+x²+x³+…+x²⁰¹³的值．

Answer 1

考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用

專題：

分析：首先分組分解代數(shù)式1+x+x²+x³+…+x²⁰¹³，整體代入得出代數(shù)式結(jié)果為x²⁰¹³，再進(jìn)一步整理1+x+x²=0，得出x²=-x-1，x²+x=-1，由x³=x•x²=x²=x（-x-1）=-（x+x²）=1，代入x²⁰¹³求得答案即可．

解答：解：∵1+x+x²=0，
∴1+x+x²+x³+…+x²⁰¹³
=（1+x+x²）+（x³+x⁴+x⁵）+…+（x²⁰¹⁰+x²⁰¹¹+x²⁰¹²）+x²⁰¹³
=x²⁰¹³；
又∵x²+x=-1，x²=-x-1，
∴x³=x•x²=x²=x（-x-1）=-（x+x²）=1，
∴x²⁰¹³=（x³）⁶⁷¹=1．

點(diǎn)評：此題考查因式分解的運(yùn)用，分組分解和整體代入是解決問題的關(guān)鍵．