Question

已知拋物線y=ax²-5ax+c與直線y=mx+n交于點(diǎn)A（-3，0）點(diǎn)B（5，4），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線與直線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)M是直線AB上的拋物線上一點(diǎn)，求△MAB的最大面積．
（3）若點(diǎn)P是直線x=1上一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P，使△PAB是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（-3，0），B（5，4）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax²-5ax+c與y=mx+n中，可求a、c及m、n的值，確定拋物線與直線的解析式，令拋物線解析式中x=0，可求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)M作MF⊥x軸，交直線AB于E，設(shè)M、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，分別用拋物線、直線的解析式表示兩點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)S_△MAB=S_△AME+S_△BME，列出關(guān)于m的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最大值；
（3）過點(diǎn)B作BN⊥x軸，由勾股定理求AB，分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，與直線x=1交于四個(gè)點(diǎn)，由對(duì)稱性及勾股定理可求四點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：把點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（5，4）代入y=ax²-5ax+c
得
解得，
∴y=-x²+x+4，
把點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（5，4）代入y=mx+n得，
解得，
∴y=x+，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²+x+4=4，
故C（0，4）；

（2）過點(diǎn)M作MF⊥x軸，交直線AB于E，過點(diǎn)B作BN⊥x軸，
設(shè)M（m，-m²+m+4）
E（m，m+），
S_△MAB=S_△AME+S_△BME=ME•AF+ME•FN=ME•AN
=（-m²+m+4-m-）×8
=-m²+m+，
∵-＜0，
∴當(dāng)m=-=1時(shí)，S最大值=4；

（3）存在；
P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8）或（1，-8）或（1，-4）或（1，12）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求法，拋物線的頂點(diǎn)公式的運(yùn)用及三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．