Question

如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC=60°．將一把直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN=30°。

（1）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數(shù)；
（2）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第        秒時，邊MN恰好與射線OC平行；在第        秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC。（直接寫出結(jié)果）；
（3）將圖1中的三角尺繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄俊?i>AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）已知∠AOC=60°，
所以∠BOC=120°，
又OM平分∠BOC，∠COM=∠BOC=60°
所以∠CON=∠COM+90°=150°
（2）當(dāng)直線ON與OA重合時，MN恰好與射線OC平行，
∴∠AOM=90°，
由題意得，10t=90°
∴t=9
∵∠ONM=60°
∴當(dāng)∠COM=30°時，MN恰好與射線OC平行
∴∠NOM=270°
由題意得，10t=270°
∴t=27
延長NO，
∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
當(dāng)直線ON恰好平分銳角∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=30°，
即順時針旋轉(zhuǎn)300°時NO延長線平分∠AOC，
由題意得，10t=300°
∴t=30，
當(dāng)NO平分∠AOC，
∴∠NOR=30°，
即順時針旋轉(zhuǎn)120°時NO平分∠AOC，
∴10t=120°，
∴t=12，
∴t=12或30；
（3）因?yàn)椤?i>MON=90°，∠AOC=60°，
所以∠AOM=90°－∠AON
∠NOC=60°－∠AON
所以∠AOM－∠NOC=（90°－∠AON）－（60°－∠AON）=30°，
所以∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系為：∠AOM－∠NOC=30°

解析