Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的開口向下，與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0）．與y軸交于點C，頂點為D．

（1）求頂點D的坐標(biāo)．（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）若△ACD的面積為3．

①求拋物線的解析式；

②將拋物線向右平移，使得平移后的拋物線與原拋物線交于點P，且∠PAB=∠DAC，求平移后拋物線的解析式．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）已知拋物線與x軸的兩交點的橫坐標(biāo)分別是﹣3和1，設(shè)拋物線解析式的交點式y(tǒng)=a（x+3）（x﹣1），再配方為頂點式，可確定頂點坐標(biāo)；

（2）①設(shè)AC與拋物線對稱軸的交點為E，先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，求出點E的坐標(biāo)，即可得到DE的長，然后由S_△ACD=×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可確定拋物線的解析式；

②先運用勾股定理的逆定理判斷出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函數(shù)求出tan∠DAC=．設(shè)y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4向右平移后的拋物線解析式為y=﹣（x+m）²+4，兩條拋物線交于點P，直線AP與y軸交于點F．根據(jù)正切函數(shù)的定義求出OF=1．分兩種情況進(jìn)行討論：（Ⅰ）如圖2①，F(xiàn)點的坐標(biāo)為（0，1），（Ⅱ）如圖2②，F(xiàn)點的坐標(biāo)為（0，﹣1）．針對這兩種情況，都可以先求出點P的坐標(biāo)，再得出m的值，進(jìn)而求出平移后拋物線的解析式．

解答：

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），

∴拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣1）=ax²+2ax﹣3a，

∵y=a（x+3）（x﹣1）=a（x²+2x﹣3）=a（x+1）²﹣4a，

∴頂點D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4a）；

（2）如圖1，①設(shè)AC與拋物線對稱軸的交點為E．

∵拋物線y=ax²+2ax﹣3a與y軸交于點C，

∴C點坐標(biāo)為（0，﹣3a）．

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+t，

則：，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=﹣ax﹣3a，

∴點E的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣2a），

∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a，

∴S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE=×DE×OA=×（﹣2a）×3=﹣3a，

∴﹣3a=3，解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3；

②∵y=﹣x²﹣2x+3，

∴頂點D的坐標(biāo)為（﹣1，4），C（0，3），

∵A（﹣3，0），

∴AD²=（﹣1+3）²+（4﹣0）²=20，CD²=（﹣1﹣0）²+（4﹣3）²=2，AC²=（0+3）²+（3﹣0）²=18，

∴AD²=CD²+AC²，

∴∠ACD=90°，

∴tan∠DAC===，

∵∠PAB=∠DAC，

∴tan∠PAB=tan∠DAC=．

如圖2，設(shè)y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4向右平移后的拋物線解析式為y=﹣（x+m）²+4，兩條拋物線交于點P，直線AP與y軸交于點F．

∵tan∠PAB===，

∴OF=1，則F點的坐標(biāo)為（0，1）或（0，﹣1）．

分兩種情況：

（Ⅰ）如圖2①，當(dāng)F點的坐標(biāo)為（0，1）時，易求直線AF的解析式為y=x+1，

由，解得，（舍去），

∴P點坐標(biāo)為（，），

將P點坐標(biāo)（，）代入y=﹣（x+m）²+4，

得=﹣（+m）²+4，

解得m₁=﹣，m₂=1（舍去），

∴平移后拋物線的解析式為y=﹣（x﹣）²+4；

（Ⅱ）如圖2②，當(dāng)F點的坐標(biāo)為（0，﹣1）時，易求直線AF的解析式為y=﹣x﹣1，

由，解得，（舍去），

∴P點坐標(biāo)為（，﹣），

將P點坐標(biāo)（，﹣）代入y=﹣（x+m）²+4，

得﹣=﹣（+m）²+4，

解得m₁=﹣，m₂=1（舍去），

∴平移后拋物線的解析式為y=﹣（x﹣）²+4；

綜上可知，平移后拋物線的解析式為y=﹣（x﹣）²+4或y=﹣（x﹣）²+4．

點評：

此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角函數(shù)的定義，三角形的面積、兩函數(shù)交點坐標(biāo)的求法，函數(shù)平移的規(guī)律等知識，綜合性較強，有一定難度，解題的關(guān)鍵是方程思想、數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．