Question

四邊形一條對(duì)角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)。如圖1，點(diǎn)P為四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PA≠PC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)。

（1）如圖甲，畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)；
（2）如圖乙，作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（3）如圖丙，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF，試說(shuō)明點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)；
（4）試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況。（說(shuō)出相應(yīng)四邊形的特征及此時(shí)準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明）

Answer 1

解：（1）如圖，點(diǎn)P即為所畫點(diǎn)；

（2）如圖，點(diǎn)P 即為所作點(diǎn)
；
（3）如圖，連接DB

在△DCF與△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE
∴△DCF≌△BCE（AAS）
∴CD=CB
∴∠CDB=∠CBD
∴∠PDB=∠PBD
∴PD=PB
∵PA≠PC
∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)；
（4））①當(dāng)四邊形的對(duì)角線互相垂直且任何一條對(duì)角線不平分另一對(duì)角線或者對(duì)角線互相平分且不垂直時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；
②當(dāng)四邊形的對(duì)角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對(duì)角線的中垂線經(jīng)過(guò)另一對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)；
③當(dāng)四邊形的對(duì)角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對(duì)角線的中垂線都不經(jīng)過(guò)另一條對(duì)角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；
④四邊形的對(duì)角線互相垂直且至少有一條對(duì)角線平分另一對(duì)角線時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)。