Question

設(shè)p、q是兩個奇數(shù)，試證方程x²+2px+2q=0不可能有有理根．

Answer 1

解：①首先，方程的根不可能是奇數(shù)；若x為奇數(shù)，則x²為奇數(shù)，而2px+2q 是偶數(shù)，
因此x²+2px+2q取奇數(shù)值，不可能是0；
②其次，方程的根不可能是偶數(shù)；若x為偶數(shù)，則x²+2px能被4整除，而這時常數(shù)項2q被4除時余2，因此不能滿足x²+2px+2q≠0；
③最后，方程的根不可能是分數(shù)；若x為分數(shù)，則x+p也是分數(shù)，而方程可以變?yōu)?BR>（x+p）²=p²﹣2q，等號右端的p²﹣2q是一個整數(shù)，左端是一個分數(shù)，這是一個矛盾！
綜上可知，當p，q是兩個奇數(shù)時，方程x²+2px+2q=0不可能有有理根．