Question

（2011•邯鄲一模）如圖1，△ABC和△BCD中，∠ABC=∠DCB=90°，AB=3，BC=4，CD=5，AC與BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PQ∥CD，交BD于Q點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒）．
（1）CE=

25

8

；當(dāng)PQ=

5

2

時(shí)，x=

25

16

；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段CE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)正方形PQMN與△ECD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？
（4）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，直接寫出AC的中點(diǎn)在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB∥CD，可以得到

AE

EC

=

AB

CD

，即可求得CE的長(zhǎng)度，進(jìn)而依據(jù)PQ∥CD，得到

EP

EC

=

PQ

CD

求得EP的長(zhǎng)，進(jìn)而得到CP的長(zhǎng)度，求得x的值；
（2）根據(jù)PQ∥CD，得到△EQP∽△EDC，在根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)△EQP∽△EDC，利用x表示出PN的長(zhǎng)，則函數(shù)解析式即可求得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得最值；
（4）顯然，當(dāng)P在CE上時(shí)，不合題意．則P一定在AE上，根據(jù)AC的中點(diǎn)O到PQ的距離一定小于正方形的邊長(zhǎng)，即可求得x的范圍．

解答：解：（1）在直角△ABC中，AC=

AB2+BC2

=5，
∵∠ABC=∠DCB=90°
∴AB∥CD
∴

AE

EC

=

AB

CD

=

3

5

∴CE=

25

8

，
∵PQ∥CD
∴

EP

EC

=

PQ

CD

=

5 2

5

=

1

2

，
∴PE=

1

2

CE=

25

16

∴x=CP=EC-EP=

25

16

，
當(dāng)點(diǎn)P在EA上時(shí)，也可能出現(xiàn)PQ=2.5，此時(shí)x=

25

16

；

（2）∵PQ∥CD，
∴△EQP∽△EDC．
∴

PQ

CD

=

EP

EC

∴

y

5

=

25 8 -x

25 8

∴y=-

8

5

x+5；

（3）設(shè)PN與CD的交點(diǎn)為K，由△CKP∽△ABC得PK=

4

5

x，
應(yīng)分兩種情況討論：①0≤x≤

25

12

時(shí)，S=-

32

25

x²+4x，
當(dāng)x=

25

16

時(shí)，S有最大值為

25

8

； 
②當(dāng)

25

12

≤x≤

25

8

時(shí)，S=(-

8

5

x+5)2=

64

25

(x-

25

8

)2，
對(duì)應(yīng)圖象在對(duì)稱軸左側(cè)，此時(shí)S隨x的增大而減小，當(dāng)x=

25

12

時(shí)，S有最大值

25

9

．
綜上所述，當(dāng)x=

25

16

時(shí)，S有最大值為

25

8

； 

（4）顯然，當(dāng)P在CE上時(shí)，不合題意．當(dāng)P在AE上時(shí)，PQ=

8x

5

-5，
設(shè)AC中點(diǎn)為O，O到PQ的距離為OT，則OT=

4x

5

-2，
由PQ＞OT即

8x

5

-5＞

4x

5

-2，得x＞

15

4

．
所以

15

4

＜x≤5為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確求得函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．