Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=2，點E為線段AB上任意一點（E不與B重合），以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，下列結(jié)論：
①∠BCE=∠ACD；②∠BCE=∠AED；③BE=AD；④AD∥BC；⑤四邊形ABCD的面積有最大值，且最大值為

3

2

．
其中正確的結(jié)論有（　�。﹤�．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：首先根據(jù)已知條件利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)分別進行判斷各結(jié)論是否正確．

解答：解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=

2

2

BC=

2

，CD=DE=

2

2

CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正確；

②∵∠AED+∠DEC+∠BEC=180°，∠DEC=45°，
∴∠AED+∠BEC=135°，
又∵∠BCE+∠BEC=180°-∠B=180°-45°=135°，
∴∠AED=∠BCE，故此選項正確；

③∵

CD

EC

=

AC

BC

=

2

2

，
∴

CD

AC

=

CE

BC

；
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴

AD

BE

=

2

2

，
∴BE≠AD，故此選項錯誤；

④∵△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，
即AD∥BC，故④正確；

⑤△ABC的面積為定值，若梯形ABCD的面積最大，則△ACD的面積最大；
△ACD中，AD邊上的高為定值（即為1），若△ACD的面積最大，則AD的長最大；
由④的△BEC∽△ADC知：當AD最長時，BE也最長；
故梯形ABCD面積最大時，E、A重合，此時EC=AC=

2

，AD=1；
故S_梯形ABCD=

1

2

（1+2）×1=

3

2

，故⑤正確；
因此本題正確的結(jié)論是①②④⑤共4個，
故選：D．

點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法等知識，綜合性強，難度較大．