Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）求證：∠CAO=∠BCO；

（3）若點P是拋物線上的一點，且∠PCB+∠ACB=∠BCO，求直線CP的表達式．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）設拋物線的解析式為為y=a（x﹣1）（x﹣4），將點C的坐標代可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）先證明，從而可證明△AOC∽△COB，由相似三角形的性質可證得∠CAO=∠BCO；

（3）先證明∠PCB=∠CBO，如圖2所示可得到CD=BD，然后由勾股定理可求得OD的長，從而得到點D的坐標，由點C和點D的坐標可求得PC的解析式，如圖3所示當∠PCB=∠CBO時，PC∥OB，從而可得到PC的解析式．

【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4）．

∵將C（0，2）代入得：4a=2，解得a=，

∴拋物線的解析式為y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x²x+2．

（2）如圖1所示：連接AC．

∵由題意可知；OA=1，OC=2，OB=4，

∴．

又∵∠COA=∠BOC，

∴△AOC∽△COB．

∴∠CAO=∠BCO．

（3）①如圖2所示：

∵∠PCB+∠ACB=∠BCO，∠ACO+∠ACB=∠BCO，

∴∠PCB=∠ACO．

∵△AOC∽△COB，

∴∠ACO=∠CBO．

∴∠PCB=∠CBO．

∴CD=BD．

設OD=x，則DBCD=4﹣x．

在Rt△DCO中，由勾股定理得：OD²+CO²=DC²，即x²+2²=（4﹣x）²．解得：x=1.5．

∴點D的坐標為（1.5，0）．

設直線CP的解析式為y=kx+b．

∵將（0，2），D（1.5，0）代入得：，解得：，

∴直線CP的解析式為y=﹣x+2．

如圖3所示：

∵∠PCB+∠ACB=∠BCO，∠ACO+∠ACB=∠BCO，

∴∠PCB=∠ACO．

∵△AOC∽△COB，

∴∠ACO=∠CBO．

∴∠PCB=∠CBO．

∴CP∥OB．

∴CP的解析式為y=2．

綜上所述，直線CP的解析式為y=﹣x+2或y=2．

【點評】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數和二次函數的解析式、相似三角形的性質和判定、勾股定理的應用，證得DC=DB，然后依據勾股定理求得OD的長是解題的關鍵．