Question

在△ABC中，∠C=90°，∠CAB與∠CBA的平分線AD、BE相交于O，又∠CAB：∠CBA=3：2，
（1）求∠ADC的度數(shù)；
（2）求∠AOE的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）設(shè)∠CAB=3x，則∠CBA=2x，
∵∠C+∠CAB+∠CBA=180°，∠C=90°，
∴90°+3x+2x=180°，解得x=18°，
∴∠CAB=3×18°=54°，∠CBA=2×18°=36°，
∵∠CAB與∠CBA的平分線AD、BE相交于O，
∴∠CAD=∠CAB=27°，
∵∠ADC+∠CAD+∠C=180°，
∴∠ADC=180°-90°-27°=63°；
（2）∵∠CAB與∠CBA的平分線AD、BE相交于O，
∴∠DAB=∠CAB=27°，∠EBA=∠CBA=18°，
∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=27°+18°=45°．
分析：（1）由∠CAB：∠CBA=3：2，設(shè)∠CAB=3x，則∠CBA=2x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到90°+3x+2x=180°，解得x=18°，則∠CAB=3×18°=54°，∠CBA=2×18°=36°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠CAD=∠CAB=27°，然后再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ADC+∠CAD+∠C=180°，通過計算即可得到∠ADC的度數(shù)；
（2）根據(jù)角平分線的定義得∠DAB=∠CAB=27°，∠EBA=∠CBA=18°，然后利用三角形外角的性質(zhì)有∠AOE=∠OAB+∠OBA．
點(diǎn)評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．也考查了三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義．