Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，D是⊙O上的動點（不同于A、B），過O作OC∥AD交過B點⊙O的切線于點C．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）設(shè)AD=x，OC=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)AD=2時，求sin∠ACO的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）先連接OD，得出∠1=∠3，∠2=∠DAO，根據(jù)∠3=∠DAO，得出∠1=∠2．從而證出△COD≌△COB，∠ODC=∠OBC，最后根據(jù)∠OBC=90°，得出∠ODC=90°，從而證出CD是⊙O的切線；
（2）連接DB，先證出∠ADB=90°，再根據(jù)∠COB=∠BAD，得出△ABD∽△OCB，證出

x

6

=

3

y

，即可得出答案；
（3）作OH⊥AC于H，求出OC=9，再根據(jù)BC=

OC2-OB2

，AC=

AB2-BC2

求出BC、AC，再根據(jù)△AOH∽△ACB，得出

OH

CB

=

AO

AC

，

OH

6 2

=

3

6 3

，求出OH，從而求出sin∠ACO．

解答：（1）證明：連接OD，
∵OC∥AD，
∴∠1=∠3，∠2=∠DAO，
∵OA=OD，
∴∠3=∠DAO，
∴∠1=∠2．
在△COD和△COB中，

OD=OB ∠1=∠2 OC=OC

，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠ODC=∠OBC．
∵CB切⊙O于B，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，OD⊥CD
∴CD是⊙O的切線．

（2）解：連接DB，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
∵∠COB=∠BAD，
∴△ABD∽△OCB，
∴

AD

AB

=

OB

OC

，
∴

x

6

=

3

y

，
∴y=

18

x

．

（3）解：作OH⊥AC于H，
由（2）得，OC=18÷2=9，
在△OCB中，
∵∠OBC=90°，
∴BC=

OC2-OB2

=

92-32

=6

2

．
在△ABC中，
∵∠ABC=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=

62+72

=6

3

．
由△AOH∽△ACB，得

OH

CB

=

AO

AC

，
即

OH

6 2

=

3

6 3

，
解得：OH=

6

，
則sin∠ACO=

OH

OC

=

6

9

．

點評：此題考查圓的綜合，用到的知識點是勾股定理、圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形．