Question

（2010•咸寧）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作直線l∥AD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q．點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=0.5時(shí)，求線段QM的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t的值；
（3）當(dāng)t＞2時(shí)，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R．請(qǐng)?zhí)骄?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230154033834757/SYS201310212301540338347023_ST/0.png">是否為定值？若是，試求這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCD為矩形，易知CF=4，AF=2，利用平行線分線段成比例定理的推論可知Rt△AQM∽R(shí)t△ACF，那么可得比例線段，從而求出QM；
（2）由于∠DCA為銳角，故有兩種情況：
①當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，可得DE+CP=CD，從而可求t；②當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，如備用圖1，容易證出Rt△PEQ∽R(shí)t△QMA，再利用比例線段，結(jié)合EQ=EM-QM=4-2t，可求t；
（3）為定值．當(dāng)t＞2時(shí)，如備用圖2，先證明四邊形AMQP為矩形，再利用平行線分線段成比例定理的推論可得△CRQ∽△CAB，再利用比例線段可求．
解答：解：（1）過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCD為矩形．
∴CF=4，AF=2，
此時(shí)，Rt△AQM∽R(shí)t△ACF，（2分）
∴，
即，
∴QM=1；（3分）

（2）∵∠DCA為銳角，故有兩種情況：
①當(dāng)∠CPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，
此時(shí)DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，在0＜t＜2內(nèi)，（5分）
②當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，如備用圖1，
此時(shí)Rt△PEQ∽R(shí)t△QMA，∴，
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴，
∴，在0＜t＜2內(nèi)；
綜上所述，t=1或；（8分）（說明：未綜述，不扣分）

（3）為定值．
當(dāng)t＞2時(shí)，如備用圖2，PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t，
由（1）得，BF=AB-AF=4，
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA，
∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴四邊形AMQP為矩形，
∴PQ∥AB，
∴△CRQ∽△CAB，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，還要掌握多種情況下的討論解題法．