Question

如圖，拋物線經(jīng)過x軸上的兩點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）和y軸上的點(diǎn)C（0，），⊙P的圓心P在y軸上，且經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）D在拋物線上，且C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，問直線BD是否經(jīng)過圓心P？并說明理由；
（3）設(shè)直線BD交⊙P于另一點(diǎn)E，求經(jīng)過點(diǎn)E和⊙P的切線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求得c的值；
（2）已知D點(diǎn)坐標(biāo)，可求直線BD的解析式，連接BP，設(shè)⊙P的半徑為r，求出r，OP的值即可．
（3）過點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，可求得△OPB≌△FPE，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．然后由射影定理求得PE²=PF•PN，根據(jù)此關(guān)系式求解．
解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，），
∴c=，
∴該拋物線的解析式為-；

（2）∵拋物線的解析式為-，
∴對(duì)稱軸為x=-=-．
又∵C（0，），C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴D（-，-）．
令x²+x-=0，
解得，x₁=-，x₂=，
即A（-，0）、B（，0）．
易求直線BD的解析式為：y=x-．
設(shè)⊙P的半徑為r．則在直角△OBP中，根據(jù)勾股定理知BP²=OB²+OP²，即r²=（）²+（-r）²，
解得，r=1，則OP=OC-r=-1=．
∴P（0，）．
點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足直線BD的解析式y(tǒng)=x-．即直線BD經(jīng)過圓心P；

（3）過點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，得△OPB≌△FPE，則E（-，-1）．
設(shè)經(jīng)過E點(diǎn)⊙P的切線l交y軸于點(diǎn)N．
則∠PEN=90°，EF⊥PN，
∴PE²=PF•PN（射影定理），
∴PN=2，N（0，-2.5），（11分）
∴切線l為：y=-x-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．難度較大．解題時(shí)，要數(shù)形結(jié)合，以防將點(diǎn)D的坐標(biāo)誤寫為（，-）．