精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學(xué) > 題目詳情
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx﹣5與x軸交于A(﹣1,0),B(5,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn),且以B,C,D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖2,CE∥x軸與拋物線相交于點(diǎn)E,點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)H且與y軸平行的直線與BC,CE分別交于點(diǎn)F,G,試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形CHEF的面積最大,求點(diǎn)H的坐標(biāo)及最大面積;

(4)若點(diǎn)K為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)M(4,m)是該拋物線上的一點(diǎn),在x軸,y軸上分別找點(diǎn)P,Q,使四邊形PQKM的周長最小,求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,0)在拋物線y=ax2+bx﹣5上,
∴
,
∴
,
∴拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣4x﹣5
(2)
解:如圖1,令x=0,則y=﹣5,
∴C(0,﹣5),
∴OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∴AB=6,BC=5
,
要使以B,C,D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,則有
或
,
①當(dāng)
時(shí),
CD=AB=6,
∴D(0,1),
②當(dāng)
時(shí),
∴
,
∴CD=
,
∴D(0,
),
即:D的坐標(biāo)為(0,1)或(0,
)

(3)
解:設(shè)H(t,t2﹣4t﹣5),
∵CE∥x軸,
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為﹣5,
∵E在拋物線上,
∴x2﹣4x﹣5=﹣5,∴x=0(舍)或x=4,
∴E(4,﹣5),
∴CE=4,
∵B(5,0),C(0,﹣5),
∴直線BC的解析式為y=x﹣5,
∴F(t,t﹣5),
∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣
)2+
,
∵CE∥x軸,HF∥y軸,
∴CE⊥HF,
∴S四邊形CHEF=
CEHF=﹣2(t﹣
)2+
,
當(dāng)t=
時(shí),四邊形CHEF的面積最大為 
(4)
解:如圖2,∵K為拋物線的頂點(diǎn),
∴K(2,﹣9),
∴K關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)K'(﹣2,﹣9),
∵M(jìn)(4,m)在拋物線上,
∴M(4,﹣5),
∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M'(4,5),
∴直線K'M'的解析式為y=
x﹣
,
∴P(
,0),Q(0,﹣
).

【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法直接拋物線解析式;(2)分兩種情況,利用相似三角形的比例式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)先求出直線BC的解析式,進(jìn)而求出四邊形CHEF的面積的函數(shù)關(guān)系式,即可求出最大值;(4)利用對(duì)稱性找出點(diǎn)P,Q的位置,進(jìn)而求出P,Q的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減��;對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形才能正確解答此題.
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(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
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