Question

如圖，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于E，交于D，點(diǎn)A是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合)，BC=，ED=2．

（1）求⊙O的半徑；

（2）求cos∠A的值及圖中陰影部分面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）4；（2），.

【解析】

試題分析：（1）連接OB，利用垂徑定理易得BE的長，在Rt△OBE中，設(shè)半徑為R，利用勾股定理得到關(guān)于R的方程，解方程即可求得半徑長；

（2）在Rt△BOE中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義可求得，根據(jù)圓周角定理可得，從而求得cos∠A的值；因?yàn)楣�形BD的面積不變，所以當(dāng)△ABD的面積最大時(shí)，陰影部分的面積最大，即點(diǎn)A在線段BD的中垂線上時(shí)陰影部分面積的最大，從而連接BD，過O作MN⊥BD，垂足為N，交優(yōu)弧于點(diǎn)M，連接MB、MD，根據(jù)即可求得圖中陰影部分面積的最大值.

試題解析：（1）如圖，連接OB.

∵OD⊥BC，∴.

設(shè)⊙O的半徑為R，則，

在Rt△OEB中，OB²=OE²+BE²，即，解得R=4.

（2）在Rt△BOE中，∵ ，∴.

∵∴  .   

連接BD，過O作MN⊥BD，垂足為N，交優(yōu)弧于點(diǎn)M，連接MB、MD.

當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，陰影部分的面積最大.

∵，∴△BOD是等邊三角形. ∴BD=4.

又∵ON⊥BD，∴.

∵，，

∴.

考點(diǎn)：1. 動(dòng)點(diǎn)形成的最值問題；2.垂徑定理；3. 勾股定理；4.垂徑定理；5.銳角三角函數(shù)定義；6.特殊角的三角函數(shù)值；7.圓周角定理；8.扇形面積的計(jì)算；9.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用．