Question

（2001•東城區(qū)）已知關(guān)于x的方程x²-（k-1）x+k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于4，實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得根的判別式大于等于0，列出關(guān)于k的不等式，然后設(shè)出方程的兩個(gè)根分別為x₁，x₂，用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，根據(jù)兩根的平方和等于4及完全平方公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解，得到k的值，代入關(guān)于k的不等式中檢驗(yàn)，可得出滿足題意的k的值．

解答：解：∵方程x²-（k-1）x+k+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴b²-4ac=（k-1）²-4（k+1）=k²-6k-3≥0，
可設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x₁，x₂，
則有x₁+x₂=-

b

a

=k-1，x₁x₂=

c

a

=k+1，
又兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于4，即x₁²+x₂²=4，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=x₁²+x₂²=4，即（k-1）²-2（k+1）=4，
整理得：k²-4k-5=0，即（k-5）（k+1）=0，
解得：k=5或k=-1，
當(dāng)k=5時(shí)，k²-6k-3=-8＜0，不合題意，舍去，
當(dāng)k=-1時(shí)，k²-6k-3=4＞0，符合題意，
則實(shí)數(shù)k的值為-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的運(yùn)用，以及根的判別式與方程解的關(guān)系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有解，即b²-4ac≥0時(shí)，設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x₁，x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，熟練掌握此關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．