Question

如圖，直線y=-x=1交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，正方形CDEF的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)C、點(diǎn)Dx軸上，且C（2，0）．直線AB以每秒2個(gè)單位的速度沿y軸向上平移，交x軸于A′，交y軸于B′．同時(shí)正方形CDEF以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向右平移得正方形C′D′E′F′，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A′與點(diǎn)C′重合？點(diǎn)A′與點(diǎn)D′重合？點(diǎn)E′在直線A′B′上？
（3）若△OA′B′與正方形C′D′E′F′重合部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在y=-x+1中，令y=0，求得x，即可得到A的橫坐標(biāo)，則A的坐標(biāo)可以得到；求得OD的長(zhǎng)即可求得E的橫坐標(biāo)，E的縱坐標(biāo)是1，則E的坐標(biāo)可以求得；
（2）設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，則OA′=1+2t，OC′=2+t，OD′=3+t，點(diǎn)A′與點(diǎn)C′重合？點(diǎn)A′與點(diǎn)D′重合？點(diǎn)E′在直線A′B′上時(shí)，分別列方程即可求得對(duì)應(yīng)的t的值；
（3）分1＜t≤2，2＜t≤3和t＞3三種情況進(jìn)行討論，利用三角形的面積公式即可求解．

解答：解：（1）在y=-x+1中，令y=0，得x=1則A的坐標(biāo)是：（1，0）；
∵C（2，0）．
∴OC=2，
∴OD=OC+CD=2+1=3，
則E的坐標(biāo)是：（3，1）；

（2）∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AB以每秒2個(gè)單位的速度沿y軸向上平移，則A向右移動(dòng)的速度是每秒2個(gè)單位．
根據(jù)題意得：1+2t=2+t，解得：t=1
故t=1時(shí)，A′與C′重合；
當(dāng)1+2t=3+t，解得：t=2，
則當(dāng)t=2時(shí)，A′與D′重合；
當(dāng)點(diǎn)E′在直線A′B′上時(shí)，△E′D′A′構(gòu)成等腰直角三角形，則1+2t-1=3+t，解得：t=3，
即當(dāng)t=3時(shí)，E′在直線A′B′上；

（3）1＜t≤2時(shí)，重合部分是等腰直角三角形，A′C′=1+2t-（2+t）=t-1，
則S=

1

2

（t-1）²=

1

2

t²-t+

1

2

；
2＜t≤3時(shí)，S=1-

1

2

（3-t）²=-

1

2

t²+3t-

7

2

t＞3時(shí)，正方形形C′D′E′F′在△OA′B′內(nèi)部，則S=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確理解OA′、OC′、OD′的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．