Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求證：△DEF是等腰三角形；
（2）當(dāng)∠A=40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形嗎？為什么？
（4）請(qǐng)你猜想：當(dāng)∠A為多少度時(shí)，∠EDF+∠EFD=120°，并請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形得出兩邊相等即可．
（2）簡單的角度的計(jì)算，由∠A可先求出∠B，∠C的大小，進(jìn)而求出∠DEF的大小，
（3）等腰直角三角形的判定，可先假設(shè)其成立，再進(jìn)行驗(yàn)證．
（4）先猜想出∠A的度數(shù)，再由全等三角形的判定定理得出△DBE≌△ECF，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角11相等即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵AB=AC
∴∠B=∠C．
在△DBE和△ECF中
∵

BE=CF ∠B=∠C BD=EC

，
∴△DBE≌△ECF（SAS）．
∴DE=EF．
∴DEF是等腰三角形．

（2）解：∠A=40°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=70°．
∴∠BDE+∠DEB=110°．
△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°．

（3）解：假設(shè)△DEF是等腰直角三角形即∠DEF=90°，
∴∠BDE+∠DEB=90°．
∴∠B=∠C=90°．
∴這與三角形的內(nèi)角和定理相矛盾，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．

（4）猜想∠A=60°時(shí)，∠EDF+∠EFD=120°．
∵∠A=60°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=60°．
∴∠BDE+∠DEB=120°．
∵△DBE≌△ECF．
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB=120°，
∴∠DEF=60°．
∴∠EDF+∠EFD=120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)及判定定理；其中的反證法是一種很重要的方法，注意掌握．