Question

如圖，BC是⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點，且弧CD=DE，連接EB、DO．
（1）求證：EB∥DO；
（2）連接EC，在∠CEB的外部作∠BEA=∠C，直線EA交CB的延長線于A，求證：直線EA是⊙O的切線；
（3）若EA=2，AB=1，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由垂徑定理得：OD⊥EC；由圓周角定理，得：BE⊥EC；由此可證得EB∥DO．
（2）連接OE，證得∠OEA=90°即可．
（3）根據(jù)AE²=AB•AC，即可求得AC長，進而求得⊙O的半徑長．
解答：（1）證明：∵弧CD=DE，
∴OD⊥EC．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BEC=90°．
∴BE⊥EC．
∴EB∥DO．

（2）證明：連接OE；
∵OC=OE，
∴∠C=∠OEC．
∵∠BEA=∠C，
∴∠BEA=∠OEC；
∵∠CEO+∠BEO=90°，
∴∠BEA+∠BEO=90°．即∠OEA=90°．
∴直線EA是⊙O的切線．

（3）解：∵AE是切線，AC是割線，
∴由切割線定理知：AE²=AB•AC，
∴AC=AE²÷AB=4，
∴BC=AC-AB=3，
∴⊙O半徑長為．
點評：本題考查的是平行線的判定、圓周角定理、切線的判定和切割線定理．