Question

對(duì)a＞b＞c＞0，作二次方程x²-（a+b+c）x+ab+bc+ca=0．
（1）若方程有實(shí)根，求證：a，b，c不能成為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；
（2）若方程有實(shí)根x₀，求證：a＞x₀＞b+c；
（3）當(dāng)方程有實(shí)根6，9時(shí)，求正整數(shù)a，b，c．

Answer 1

分析：（1）若一元二次方程有實(shí)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立a、b、c的關(guān)系，則能證明．
（2）設(shè)f（x）=x²-（a+b+c）x+ab+bc+ca，由二次函數(shù)性質(zhì)可證．
（3）由根與系數(shù)關(guān)系可得a、b、c的關(guān)系，進(jìn)而解得a、b、c的值．

解答：解：（1）由方程有實(shí)根得，△=（a+b+c）²-4（ab+bc+ca）≥0
即0≤a²+b²+c²-2ab-2bc-2ca=a（a-b-c）-b（a+c-b）-c（a+b-c）＜a（a-b-c），由a＞0，得a-b-c＞0，
即a＞b+c．所以，a，b，c不能成為一個(gè)三角形的三邊．（4分）

（2）設(shè)f（x）=x²-（a+b+c）x+ab+bc+ca，則f（b+c）=bc＞0，f（a）=bc＞0，
且f（

a+b+c

2

）=＜0由（1）知b+c＜

a+b+c

2

＜a，
所以二次方程的實(shí)根x₀都在b+c與a之間，即a＞x₀＞b+c．（7分）

（3）由根與系數(shù)關(guān)系有a+b+c=15，ab+bc+ca=54，
得a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ca）=225-108=117＜11²．由（2）知a＞9，
故得9²＜a²＜11²，∴a=10．∴b+c=5，bc=4，由b＞c，解得b=4，c=1，
∴a=10，b=4，c=1．（10分）

點(diǎn)評(píng)：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，是一個(gè)綜合性的題目，也是一個(gè)難度較大的題目．