Question

請(qǐng)你利用直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)（x₁，y₁）、（x₂，y₂）間的距離公式d=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

解答下列問(wèn)題：
已知：反比例函數(shù)y=

2

x

與正比例函數(shù)y=x的圖象交于A、B兩點(diǎn)（A在第一象限），點(diǎn)F₁（-2，-2）、F₂（2，2）在直線(xiàn)y=x上．設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）是反比例函數(shù)y=

2

x

圖象上的任意一點(diǎn)，記點(diǎn)P與F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之差d=|P_^F1-P_^F2|．試比較線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度與d的大小，并由此歸納出雙曲線(xiàn)的一個(gè)重要定義（用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言表述）．

Answer 1

分析：解由y=

2

x

和y=x組成的方程組可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（

2

，

2

）、（-

2

，-

2

），利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度，由P為反比例函數(shù)y=

2

x

上一點(diǎn)可得出x₀與y₀的關(guān)系式，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得出PF₁、PF₂的長(zhǎng)，代入d=|P_^F1-P_^F2|即可得到x₀的表達(dá)式，再根據(jù)x₀的取值范圍即可求出d的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：解由y=

2

x

和y=x組成的方程組可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，（

2

，

2

）、（-

2

，-

2

），線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度=4（2分）
∵點(diǎn)P（x₀，y₀）是反比例函數(shù)y=

2

x

圖象上一點(diǎn)，
∴y₀=

2

x0

∴PF₁=

(x0+2)2+( 2 xo +2)2

=

(x0+ 2 x0 +2)2

=|

(x0+1)2+1

x0

|，
PF₂=

(x0-2)2+( 2 xo -2)2

=

(x0+ 2 x0 -2)2

=|

(x0-1)2+1

x0

|，（3分）
∴d=|PF₁-PF₂|=||

(x0+1)2+1

x0

|-|

(x0-1)2+1

x0

||，
當(dāng)x₀＞0時(shí)，d=4；當(dāng)x₀＜0時(shí)，d=4．（3分）
因此，無(wú)論點(diǎn)P的位置如何，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度與d一定相等．（2分）
由此可知：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差（取正值）是定值的點(diǎn)的集合（軌跡）是雙曲線(xiàn)．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練利用兩點(diǎn)間的距離公式是解答此題的關(guān)鍵．