Question

【題目】如圖，已知正比例函數y=x與反比例函數y=（k＞0）的圖象交于A、B兩點，且點A的橫坐標為4．

（1）求k的值；
（2）根據圖象直接寫出正比例函數值小于反比例函數值時x的取值范圍；
（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線y=（k＞0）于P、Q兩點（P點在第一象限），若由點A、P、B、Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）∵點A在正比例函數y=x上，
∴把x=4代入正比例函數y=x，
解得y=2，∴點A（4，2），
∵點A與B關于原點對稱，
∴B點坐標為（﹣4，﹣2），
把點A（4，2）代入反比例函數y=，得k=8，
（2）由交點坐標，根據圖象直接寫出正比例函數值小于反比例函數值時x的取值范圍，x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）∵反比例函數圖象是關于原點O的中心對稱圖形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ是平行四邊形，
∴S△POA=S平行四邊形APBQ×=×24=6，
設點P的橫坐標為m（m＞0且m≠4），
得P（m，），
過點P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，
∵點P、A在雙曲線上，
∴S△POE=S△AOF=4，
若0＜m＜4，如圖，
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF ，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴（2+）（4﹣m）=6．
∴m1=2，m2=﹣8（舍去），
∴P（2，4）；
若m＞4，如圖，
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE ，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴（2+）（m﹣4）=6，
解得m1=8，m2=﹣2（舍去），
∴P（8，1）．
∴點P的坐標是P（2，4）或P（8，1）．

【解析】（1）先將x=4代入正比例函數y=x，可得出y=2，求得點A（4，2），再根據點A與B關于原點對稱，得出B點坐標，即可得出k的值；
（2）正比例函數的值小于反比例函數的值即正比例函數的圖象在反比例函數的圖象下方，根據圖形可知在交點的右邊正比例函數的值小于反比例函數的值．
（3）由于雙曲線是關于原點的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點的四邊形應該是平行四邊形，那么△POA的面積就應該是四邊形面積的四分之一即6．可根據雙曲線的解析式設出P點的坐標，然后表示出△POA的面積，由于△POA的面積為6，由此可得出關于P點橫坐標的方程，即可求出P點的坐標．