Question

直線y=x+b與x軸交于點C（4，0），與y軸交于點B，并與雙曲線（x＜0）交于點A（-1，n）．
（1）求直線與雙曲線的解析式．
（2）連接OA，求∠OAB的正弦值．
（3）若點D在x軸的正半軸上，是否存在以點D、C、B構成的三角形與△OAB相似？若存在求出D點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=x+b與x軸交于點C（4，0），
∴把點C（4，0）代入y=x+b得：b=-4，
∴直線的解析式是：y=x-4；
∵直線也過A點，
∴把A點代入y=x-4得到：n=-5
∴A（-1，-5），
把將A點代入（x＜0）得：m=5，
∴雙曲線的解析式是：y=；

（2）過點O作OM⊥AC于點M，
∵B點經過y軸，
∴x=0，
∴0-4=y，
∴y=4，
∴B（0，-4），
AO==，
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴在△OMB中 sin45°==，
∴OM=2，
∴在△AOM中，
sin∠OAB==；

（3）存在；
過點A作AN⊥y軸，垂足為點N，
則AN=1，BN=1，
則AB==，
∵OB=OC=4，
∴BC==4，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠OBA=∠BCD=135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴=或=，
∴=或=，
∴CD=2或CD=16，
∴點D的坐標是（6，0）或（20，0）．
分析：（1）把點C的坐標代入y=x+b，求出b的值，得出直線的解析式；把點A（-1，n）代入y=x-4得到n的值，求出A點的坐標，再把將A點代入（x＜0）中，求出m的值，從而得出雙曲線的解析式；
（2）先過點O作OM⊥AC于點M，根據(jù)B點經過y軸，求出B點的坐標，根據(jù)勾股定理求出AO的值，根據(jù)OC=OB=4，得出△OCB是等腰三角形，求出∠OBC=∠OCB的度數(shù)，再在△OMB中，根據(jù)正弦定理求出OM的值，從而得出∠OAB的正弦值．
（3）先過點A作AN⊥y軸，垂足為點N，根據(jù)AN=1，BN=1，求出AB的值，根據(jù)OB=OC=4，求出BC的值，再根據(jù)∠OBC=∠OCB=45°，得出∠OBA=∠BCD，從而得出△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，最后根據(jù)=或=，再代入求出CD的長，即可得出答案．
點評：此題考查了反比例函數(shù)的綜合，用到的知識點是勾股定理、相似三角形的判斷與性質，特殊角的三角函數(shù)值，關鍵是根據(jù)題意作出輔助線，求出線段的長度．