Question

如圖1、四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=8，將矩形OABC沿直線AC折疊，使點(diǎn)B落在D處，AD交OC于E，
（1）求OE的長；
（2）求過O、D、C三點(diǎn)拋物線的解析式；
（3）如圖2過D做矩形DFGH，F(xiàn)G在x軸上，H在（2）中的拋物線上，求矩形DFGH的面積S是多少？

Answer 1

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD．
又∵∠CED=∠OEA，
在△CDE和△AOE中，
，
∴△CDE≌△AOE（AAS）．
∴OE=DE．
∴OE²+OA²=（AD-DE）²，
即OE²+4²=（8-OE）²，
解之，得OE=3．

（2）由（1）得出：EC=8-3=5．
如圖1，過D作DG⊥EC于G，
∵∠DGE=∠CDE，∠DEG=∠CED，
∴△DGE∽△CDE．
∴=，
∴DG=，EG=．
∴D（，）．
因?yàn)镺點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
故可設(shè)過O，C，D三點(diǎn)拋物線的解析式為y=ax²+bx．
∴，
解之，得，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+x；

（3）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為：（8，0），
∴對稱軸為：直線x=4，
∵D（，），
∴H點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于直線x=4對稱，
∴H點(diǎn)坐標(biāo)為；（，），
∴HD=-=，
∴矩形DFGH的面積S為：DF×DH=×=．
分析：（1）已知四邊形OABC是矩形，證明△CDE≌△AOE推出OE²+OA²=（AD-DE）²求出OE．
（2）本題要借助輔助線的幫助，證明∴△DGE∽△CDE，根據(jù)線段比求出DG，EG以及點(diǎn)D的坐標(biāo)，列出解析式求出a，b的值．
（3）根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)得出拋物線的對稱軸，再利用D點(diǎn)坐標(biāo)得出H點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出DH，DF的長即可得出答案．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．