Question

矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在線段BC上，再打開(kāi)得到折痕EF．

（1）當(dāng)A′與B重合時(shí)（如圖1），EF=       ；當(dāng)折痕EF過(guò)點(diǎn)D時(shí)（如圖2），求線段EF的長(zhǎng)；

（2）觀察圖3和圖4，設(shè)BA′=，①當(dāng)的取值范圍是       時(shí)，四邊形AEA′F是菱形；②在①的條件下，利用圖4證明四邊形AEA′F是菱形．

 

Answer 1

【答案】

（1）5， （2）①3≤≤5

【解析】

試題分析：解：(1)由折疊（軸對(duì)稱）性質(zhì)知A′D=AD=5，∠A=∠EA′D=90⁰。 在R t△ A′DC中，DC=AB=3，∴ 。∴A′B=BC－A′C=5－4=1。設(shè)AE=，則BE=，在直角△A′BE中，，∴ 。在R t △AEF中，。,

（2）①有圖可知，當(dāng)BA′=3時(shí)，四邊形AEA′F是正方形，也是特殊的菱形，當(dāng)A′移到與C重合時(shí)，四邊形AEA′F還是菱形，在這個(gè)過(guò)程中四邊形都是菱形，所以3≤≤5。②可以通過(guò)證明四邊相等的平行四邊形是菱形。證明：由折疊（軸對(duì)稱）性質(zhì)知∠AEF=∠FEA′，AE=A′E，AF=A′F。又 ∵AD∥BC，∴∠AFE="∠FEA′" 。∴∠AEF="∠AFE" �！郃E=AF�！郃E=A′E=AF=A′F�！嗨倪呅蜛EA′F是菱形。

考點(diǎn)：勾股定理和菱形的證明

點(diǎn)評(píng)：該題考查勾股定理的運(yùn)用和菱形的證明方法，學(xué)生對(duì)四邊形的判定避免混淆和不會(huì)應(yīng)用。