Question

如圖，AB是⊙O 的直徑，CD是⊙O的一條弦，且CD⊥AB于點E．

（1）求證：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

∠BCO=∠D  半徑=3.

解析試題分析：(1)證明：∵O為圓心，∴OB="OC," ∴∠BCO="∠B" 又∵∠B與∠D所對的同弧AC，∴∠B="∠D" ∴∠BCO=∠D  (2)設半徑為x,則EO="（x-2）," ∵CD⊥AB∴CE=DE=×4=2 在Rt△CEO中，由勾股定理得；CO2-OE2="CE2" 即x2-(x-2)2=(2)2 解得x="3" （1）證明：如圖.

∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B.
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D.  ………………………………2分
（2）解：∵AB是⊙O 的直徑，且CD⊥AB于點E，
∴. ............................................ 3分
在Rt△OCE中，，
設⊙O的半徑為r，則OC=r，OE=OAAE=r2，
∴.  ................................................... 4分
解得.
∴⊙O 的半徑為3.   5分
考點：垂徑定理，勾股定理，在同圓等圓中圓周角與弧的關系。等腰三角形的性質(zhì)。
點評：在同圓中，兩個角要是相等的條件是所對的同一個弧，（1）中∴∠B=∠D，又∠B=∠BCO，∴等量代換證得。（2）中，根據(jù)勾股定理可列方程求之。中等偏難題，計算較多。