Question

（2005•畢節(jié)地區(qū)）如圖，拋物線y=-x²+（6-）x+m-3與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)（x₁＜x₂），交y軸于C點(diǎn)，且x₁+x₂=0．
（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸方程．
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P使△PBC≌△OBC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)x₁+x₂=0，可得出拋物線的對(duì)稱軸為y軸即x=0，由此可求出m的值．進(jìn)而可求出拋物線的解析式．根據(jù)拋物線的解析式即可得出其頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程．
（2）如果△PBC≌△OBC，由于△OBC是等腰直角三角形，那么P有兩種可能：①P，O重合；②P與O關(guān)于直線BC對(duì)稱，而這兩種P點(diǎn)均不在拋物線上，因此不存在這樣的P點(diǎn)．
解答：解：（1）m=±6，
∵拋物線與y軸交于正半軸上，
∴m=6．
拋物線解析式y(tǒng)=-x²+3，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)C（0，3），拋物線對(duì)稱軸方程x=0．

（2）B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
假設(shè)存在一點(diǎn)P使△PBC≌△OBC．
因?yàn)椤鱋BC是等腰直角三角形，BC是公共邊，
故P點(diǎn)與O點(diǎn)必關(guān)于BC所在直線對(duì)稱．點(diǎn)P坐標(biāo)是（3，3）．
當(dāng)x=3時(shí)，y≠3，即點(diǎn)P不在拋物線上，
所以不存在這樣的點(diǎn)P，使△PBC≌△OBC．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定以及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．