Question

8、如圖已知D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，過D作兩條互相垂直的射線，分別交AB于E，交AC于F，求證：BE+CF＞EF．

Answer 1

分析：本題可將所求的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)或相關(guān)聯(lián)的三角形中進(jìn)行求解．如果延長(zhǎng)FD到M使MD=DF，連接BM，EM．因此構(gòu)成了兩三角形全等，那么CF=BM．三角形EFM中，ED⊥MF，MD=FD，那么ED就是MF的垂直平分線，因此EM=EF．再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系就可證明．

解答：證明：延長(zhǎng)FD到M使MD=DF，連接BM，EM．
∵D為BC中點(diǎn)，
∴BD=DC．
∵∠FDC=∠BDM，
∴△BDM≌△CDF．
∴BM=FC．
∵ED⊥DF，
∴EM=EF．
∵BE+BM＞EM，
∴BE+FC＞EF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．