Question

已知二次函數y=mx²+nx+p圖象的頂點橫坐標是2，與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，與y軸交于點C，O為坐標原點，tan∠CAO-tan∠CBO=1．
（1）求證：n+4m=0；
（2）求m、n的值；
（3）當p＞0且二次函數圖象與直線y=x+3僅有一個交點時，求二次函數的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知拋物線的對稱軸為x=2，利用對稱軸公式x=，易證n+4m=0；
（2）本問利用三角函數定義和拋物線與x軸交點坐標性質求解．特別需要注意的是拋物線的開口方向未定，所以所求m、n的值將有兩組，不能遺漏；
（3）本問利用一元二次方程的判別式等于0求解．當p＞0時，m、n的值隨之確定；將拋物線的解析式與直線的解析式聯立，得到一個一元二次方程；由交點唯一可知，此一元二次方程的判別式等于0，據此求出p的值，從而確定了拋物線的解析式；最后由拋物線的解析式確定其最大值．
解答：（1）證明：∵二次函數y=mx²+nx+p圖象的頂點橫坐標是2，
∴拋物線的對稱軸為x=2，
即=2，
化簡得：n+4m=0．

（2）解：∵二次函數y=mx²+nx+p與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，
∴OA=-x₁，OB=x₂；x₁+x₂=，x₁•x₂=；
令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|．
由三角函數定義得：tan∠CAO===，tan∠CBO==．
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，即-=1，
化簡得：=-，
將x₁+x₂=，x₁•x₂=代入得：=-，
化簡得：n==±1．
由（1）知n+4m=0，
∴當n=1時，m=；當n=-1時，m=．
∴m、n的值為：m=，n=-1（此時拋物線開口向上）或m=，n=1（此時拋物線開口向下）．

（3）解：由（2）知，當p＞0時，n=1，m=，
∴拋物線解析式為：y=x²+x+p．
聯立拋物線y=x²+x+p與直線y=x+3解析式得到：x²+x+p=x+3，
化簡得：x²-4（p-3）=0 ①．
∵二次函數圖象與直線y=x+3僅有一個交點，
∴一元二次方程①的判別式等于0，即△=0²+16（p-3）=0，解得p=3．
∴拋物線解析式為：y=x²+x+p=y=x²+x+3=（x-2）²+4，
當x=2時，二次函數有最大值，最大值為4．
∴當p＞0且二次函數圖象與直線y=x+3僅有一個交點時，二次函數的最大值為4．
點評：本題要求同學們熟練掌握二次函數的性質，包括拋物線的解析式、對稱軸公式、拋物線與x軸的交點、拋物線與一元二次方程的關系、二次函數的最值等重要知識點．作為中考壓軸題，本題難度適中，相信多數同學能夠順利解決；難點在于由于題中未明確拋物線的開口方向，導致部分同學感覺難以下手，或者盲目求解，只得到m、n的一組解（第2問），從而導致失分．