Question

（2009•上海一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)圖象經(jīng)過A（1，-2）、B（3，-2）和C（0，1）三點(diǎn)，頂點(diǎn)為P；
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）連接PC、BC，求∠BCP的正切值；
（3）能否在第一象限內(nèi)找到一點(diǎn)Q，使得以Q、C、A三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以C、P、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？若能，請確定符合條件的點(diǎn)Q共有幾個(gè)，并請直接寫出它們的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；進(jìn)而可用配方法求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)B、C、P三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出BC、BP、PC的長，此時(shí)發(fā)現(xiàn)△BPC是直角三角形，且∠CBP=90°，由此可求出∠BCP的正切值；
（3）由于△BPC是直角三角形，若以Q、C、A三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以C、P、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，那么△QCA也必須是直角三角形；因此需分三種情況進(jìn)行討論；
①∠QCA=∠CBP=90°，此時(shí)△QCA∽△PBA或△QCA∽△CBP；
②∠CQA=90°，此時(shí)△CQA∽△PBC；
③∠QPC=90°，此時(shí)△QPC∽△CBP；（△QPC∽△PBC時(shí)，Q位于第四象限，此種情況不考慮）．
解答：解：（1）因?yàn)閥=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（1，-2），B（3，-2），C（0，1）三點(diǎn)，
則：，
解得；
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+1=（x-2）²-3；
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）；

（2）∵B（3，-2），C（0，1），P（2，-3）；
∴BP²=2，BC²=18，CP²=20，
即BP²+BC²=CP²；
故△BCP是直角三角形，且∠CBP=90°；
∴tan∠BCP==；

（3）此題分三種情況討論：如圖；
①∠QCA=90°，則△QCA∽△PBC或△QCA∽△CBP；
得CQ：CA=1：3或CQ：CA=3：1；
過Q作QE⊥y軸于E，則△QEC∽△CGA；
∵QC：CA=3：1，
∴QE=3CG=9，CE=3AG=3，即OE=4；
∴Q（9，4），
同理可求得Q′（1，）；
②∠CQA=90°，可過A作直線AF∥y軸，交x軸于F，過C作CQ⊥AF于Q，
此時(shí)AQ：CQ=BP：BC=1：3，
又因?yàn)椤螩QA=∠CBP=90°，
則△CQA∽△PBC；
∴Q（1，1）；
③∠QAC=90°，由于Q在第一象限，此時(shí)只有一種情況：△QAC∽△CBP，
得：QA：AC=3：1，
即AQ=3AC=3；
易證得∠CAQ=∠AFH=∠QHM，
所以tan∠AHF=tan∠QHM=；
即FH=3AF=6，則AH=2，QH=AQ-AH=；
∵HM=3QM，則QM=1，HM=3；
∴Q（10，1）；
綜上可知：存在符合條件的Q點(diǎn)，且坐標(biāo)為Q（9，4），（1，），（1，1）或（10，1）．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等；要特別注意（3）題在不確定相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角的情況下要分類討論，以免漏解．