【題目】如圖,拋物線y=﹣(x﹣1)2+c與x軸交于A,B(A,B分別在y軸的左右兩側(cè))兩點,與y軸的正半軸交于點C,頂點為D,已知A(﹣1,0).
(1)求點B,C的坐標;
(2)判斷△CDB的形狀并說明理由;
(3)將△COB沿x軸向右平移t個單位長度(0<t<3)得到△QPE.△QPE與△CDB重疊部分(如圖中陰影部分)面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.
【答案】
(1)
解:∵點A(﹣1,0)在拋物線y=﹣(x﹣1)2+c上,
∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c,得c=4,
∴拋物線解析式為:y=﹣(x﹣1)2+4,
令x=0,得y=3,∴C(0,3);
令y=0,得x=﹣1或x=3,∴B(3,0).
(2)
解:△CDB為直角三角形.理由如下:
由拋物線解析式,得頂點D的坐標為(1,4).
如答圖1所示,
過點D作DM⊥x軸于點M,則OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2.
過點C作CN⊥DM于點N,則CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1.
在Rt△OBC中,由勾股定理得:BC= ;
在Rt△CND中,由勾股定理得:CD= ;
在Rt△BMD中,由勾股定理得:BD= .
∵BC2+CD2=BD2,
∴△CDB為直角三角形(勾股定理的逆定理).
(3)
解:設直線BC的解析式為y=kx+b,∵B(3,0),C(0,3),
∴ ,
解得k=﹣1,b=3,
∴y=﹣x+3,
直線QE是直線BC向右平移t個單位得到,
∴直線QE的解析式為:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t;
設直線BD的解析式為y=mx+n,∵B(3,0),D(1,4),
∴ ,
解得:m=﹣2,n=6,
∴y=﹣2x+6.
連接CQ并延長,射線CQ交BD于點G,則G( ,3).
在△COB向右平移的過程中:
(I) 當0<t≤ 時,如答圖2所示:
設PQ與BC交于點K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.
設QE與BD的交點為F,則: ,解得 ,∴F(3﹣t,2t).
S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE= PEPQ﹣ PBPK﹣ BEyF= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t2t= t2+3t;
(II) 當 <t<3時,如答圖3所示:
設PQ分別與BC、BD交于點K、點J.
∵CQ=t,
∴KQ=t,PK=PB=3﹣t.
直線BD解析式為y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t,
∴J(t,6﹣2t).
S=S△PBJ﹣S△PBK= PBPJ﹣ PBPK= (3﹣t)(6﹣2t)﹣ (3﹣t)2= t2﹣3t+ .
綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式為:
S= .
【解析】(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后進一步確定點B,C的坐標;(2)分別求出△CDB三邊的長度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形;(3)△COB沿x軸向右平移過程中,分兩個階段:
(I)當0<t≤ 時,如答圖2所示,此時重疊部分為一個四邊形;
(II)當 <t<3時,如答圖3所示,此時重疊部分為一個三角形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是⊙O內(nèi)接正三角形,將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△DEF,DE分別交AB,AC于點M,N,DF交AC于點Q,則有以下結(jié)論:①∠DQN=30°;②△DNQ≌△ANM;③△DNQ的周長等于AC的長;④NQ=QC.其中正確的結(jié)論是、佗冖邸。ò阉姓_的結(jié)論的序號都填上)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中華文明,源遠流長;中華詩詞,寓意深廣.為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,我市某校團委組織了一次全校2000名學生參加的“中國詩詞大會”海選比賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學生的成績均不低于50分,為了更好地了解本次海選比賽的成績分布情況,隨機抽取了其中200名學生的海選比賽成績(成績x取整數(shù),總分100分)作為樣本進行整理,得到下列統(tǒng)計圖表: 抽取的200名學生海選成績分組表
組別 | 海選成績x |
A組 | 50≤x<60 |
B組 | 60≤x<70 |
C組 | 70≤x<80 |
D組 | 80≤x<90 |
E組 | 90≤x<100 |
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)請把圖1中的條形統(tǒng)計圖補充完整;(溫馨提示:請畫在答題卷相對應的圖上)
(2)在圖2的扇形統(tǒng)計圖中,記表示B組人數(shù)所占的百分比為a%,則a的值為 , 表示C組扇形的圓心角θ的度數(shù)為度;
(3)規(guī)定海選成績在90分以上(包括90分)記為“優(yōu)等”,請估計該校參加這次海選比賽的2000名學生中成績“優(yōu)等”的有多少人?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點C、D、E三點在同一直線上,連接BD.
(1)求證:△BAD≌△CAE;
(2)請判斷BD、CE有何大小、位置關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】李老師給愛好學習的小兵和小鵬提出這樣一個問題:如圖1,在△ABC中,AB=AC點P為邊BC上的任一點,過點P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別為D、E,過點C作CF⊥AB,垂足為F.求證:PD+PE=CF.
小兵的證明思路是:如圖2,連接AP,由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得:PD+PE=CF.
小鵬的證明思路是:如圖2,過點P作PG⊥CF,垂足為G,先證△GPC≌△ECP,可得:PE=CG,而PD=GF,則PD+PE=CF.
請運用上述中所證明的結(jié)論和證明思路完成下列兩題:
(1)如圖3,將長方形ABCD沿EF折疊,使點D落在點B上,點C落在點C′處,點P為折痕EF上的任一點,過點P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分別為G、H,若AD=16,CF=6,求PG+PH的值;
(2)如圖4,P是邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)任一點,且PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,求PD+PE+PF的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在我市舉行的中學生安全知識競賽中共有20道題.每一題答對得5分,答錯或不答都扣3分.
(1)小李考了60分,那么小李答對了多少道題?
(2)小王獲得二等獎(75~85分),請你算算小王答對了幾道題?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,∠ABC的平分線交AC于D,則圖中共有等腰三角形( 。
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
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