Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝6，在AC上取一點(diǎn)D，使AD＝4，將線段AD繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P，連接BP，取BP的中點(diǎn)F，連接CF，當(dāng)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，CF的長(zhǎng)是_____，在旋轉(zhuǎn)過程中，CF的最大長(zhǎng)度是_____.

Answer 1

【答案】， +2．

【解析】

當(dāng)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，CP＝10，BC＝2，利用勾股定理求出BP，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CF的長(zhǎng)；取AB的中點(diǎn)M，連接MF和CM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得CM的長(zhǎng)，利用三角形中位線定理，可得FM的長(zhǎng)，再根據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大，即可得到結(jié)論．

當(dāng)點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1．

∵在直角△BCP中，∠BCP＝90°，CP＝AC+AP＝6+4＝10，BC＝2，

∴BP＝，

∵BP的中點(diǎn)是F，

∴CF＝BP＝ ．

取AB的中點(diǎn)M，連接MF和CM，如圖2．

∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝2，

∴AB＝2．

∵M為AB中點(diǎn)，

∴CM＝AB＝，

∵將線段AD繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P，

∴AP＝AD＝4，

∵M為AB中點(diǎn)，F為BP中點(diǎn)，

∴FM＝AP＝2．

當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點(diǎn)共線且M在線段CF上時(shí)CF最大，

此時(shí)CF＝CM+FM＝+2．

故答案為：， +2．