Question

如圖所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到DA的延長(zhǎng)線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接FM、MN、FN，過(guò)ΔFMN三邊的中點(diǎn)作ΔPQW．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．試解答下列問(wèn)題：

（1）說(shuō)明ΔFMN∽ΔQWP；
（2）設(shè)0≤x≤4．試問(wèn)x為何值時(shí)，ΔPQW為直角三角形？
（3）試用含的代數(shù)式表示MN2，并求當(dāng)x為何值時(shí)，MN2最��？求此時(shí)MN2的值．

Answer 1

（1）證明略
（2）當(dāng)或時(shí)，ΔPQW為直角三角形
（3）2解析:
解：（1）由題意可知P、W、Q分別是ΔFMN三邊的中點(diǎn)，
∴PW是ΔFMN的中位線，即PW∥MN
∴ΔFMN∽ΔQWP------3分
(2)由(1)得，ΔFMN∽ΔQWP，故當(dāng)ΔQWP為直角三角形時(shí)，ΔFMN為直角三角形，反之亦然.
由題意可得  DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，
由勾股定理分別得 =，=+，=+16-----5分
①當(dāng)=+時(shí)，+=++
解得 -----6分
②當(dāng)=+時(shí)，+=++
此方程無(wú)實(shí)數(shù)根----7分
③=+時(shí)，=+++
解得 （不合題意，舍去），------8分
綜上，當(dāng)或時(shí)，ΔPQW為直角三角形；------9分
（3）①當(dāng)0≤x≤4，即M從D到A運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN≥AN，AN=6-x，
故只有當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最小，MN2的值也最小,此時(shí)MN=2，MN2="4" -----10分
②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，=+=+
=
當(dāng)x=5時(shí)，MN2取得最小值2，
∴當(dāng)x=5時(shí)， MN２的值最小，此時(shí)MN２=2．-------12分