Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、C在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸上，以AC為直徑的圓與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，CD=AO，如果AO＞BO，且AO、BO是關(guān)于x的二次方程x²-14x+48=0的兩個(gè)根．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）定義：在直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)M（m，n），對(duì)于直線y=kx+b，當(dāng)x=m時(shí)，y=km+b＞n，則稱點(diǎn)M在直線下方；當(dāng)x=m時(shí)，y=km+b=n，則稱點(diǎn)M在直線上；當(dāng)x=m時(shí)，y=km+b＜n，則稱點(diǎn)M在直線上方．
請(qǐng)你根據(jù)上述定義解決下列問(wèn)題：
若點(diǎn)P在直徑AC所在直線上，且AC=4AP，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和Q（6，-16），請(qǐng)你判斷點(diǎn)D和直線l的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（1）∵AO＞BO，且AO、BO是關(guān)于x的二次方程x²-14x+48=0的兩個(gè)根．
∴OA=8，OB=6
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
過(guò)D作DE⊥x軸，交x軸于E點(diǎn)，連接CD，
∴E為OC的中點(diǎn)，即CE=OE=-x，DE=y，
∵OA=8，OB=6，
在直角三角形CDE中，CD=AO，
根據(jù)勾股定理得：CD²=AO²=x²+y²=64①，
又△DEB∽△AOB，
∴=，即=②，
聯(lián)立①②，解得：x=-9.6，y=4.8，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)（-9.6，4.8）

（2）第一種情況：
當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，-6）
得出直線l的解析式：y=-x-10
得出點(diǎn)D在直線l的上方．
第二種情況：
當(dāng)點(diǎn)P在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-10）
得出直線l的解析式：y=-3x+2
得出點(diǎn)D在直線l的下方．
沒(méi)有分類的情況下寫(xiě)出上方或下方不給分；有分類但沒(méi)有說(shuō)理過(guò)程，給答案．
分析：本題主要考查數(shù)形結(jié)合，有很強(qiáng)的邏輯能力．先根據(jù)AO＞BO，且AO、BO是關(guān)于x的二次方程x²-14x+48=0的兩個(gè)根求出OA、OB的長(zhǎng)，由三角形性質(zhì)即可得D點(diǎn)坐標(biāo)．第（2）問(wèn)分兩種情況進(jìn)行分別討論，從而判斷出點(diǎn)D和直線l的位置關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)形結(jié)合，是函數(shù)和圖形的有機(jī)結(jié)合，特別是第（2）問(wèn)需要給出分類情況進(jìn)行討論．