Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC為⊙O直徑，作∠CAD=∠B，且點(diǎn)D在BC的延長線上，CE⊥AD于點(diǎn)E．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為8，CE=2，求CD的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先連接OA，由BC為⊙O直徑，CE⊥AD，∠CAD=∠B，易求得∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°，則可證得AD是⊙O的切線；

（2）易證得△CED∽△OAD，然后設(shè)CD=x，則OD=x+8，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得方程：，繼而求得答案．

試題解析：（1）證明：連接OA，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∴∠B+∠ACB=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠CAD=∠B，

∴∠CAD+∠OAC=90°，

即∠OAD=90°，

∴OA⊥AD，

∵點(diǎn)A在圓上，

∴AD是⊙O的切線；

（2）∵CE⊥AD，

∴∠CED=∠OAD=90°，

∴CE∥OA，

∴△CED∽△OAD，

∴，CE=2，

設(shè)CD=x，則OD=x+8，

即，

解得x=，

經(jīng)檢驗(yàn)x=是原分式方程的解，

所以CD=．

考點(diǎn): 1.切線的判定；2.解分式方程；3.相似三角形的判定與性質(zhì)．