如圖,拋物線y=x2+mx+n(其中m,n為常數(shù)且m>n)與y軸正半軸交于A點(diǎn),它的對(duì)稱軸交x軸正半軸于C點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為P,Rt△ABC的直角頂點(diǎn)B在對(duì)稱軸上,當(dāng)它繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△A′B′C.
(1)寫出點(diǎn)A,P,A′的坐標(biāo)(用含m,n的式子表示);
(2)若直線BB'交y軸于E點(diǎn),求證:線段B′E與AA′互相平分;
(3)若點(diǎn)A′在拋物線上且Rt△ABC的面積為1時(shí),請(qǐng)求出拋物線的解析式并判斷在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D,使△AA′D為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的D點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線的解析式易得出A點(diǎn)和P點(diǎn)的坐標(biāo).根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可看得出AB=A′B′,BC=B′C,因此A′的橫坐標(biāo)為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)橫坐標(biāo)的和,而A′的縱坐標(biāo)與P點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,由此可得出A′的坐標(biāo).
(2)在直角三角形BCB′中,BC=B′C,因此三角形BCB′是等腰直角三角形,即∠EBA=∠BB′C=45°,可得出EA=AB=A′B′,這樣就證得了四邊形AEA′B′是平行四邊形,那么根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出所證的條件.
(3)①根據(jù)A′在拋物線上,將A′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中可得出一個(gè)關(guān)于m,n的等量關(guān)系.已知了三角形ABC的面積為1,可得出另一個(gè)關(guān)于m、n的等量關(guān)系,聯(lián)立兩式即可求出m、n的值,也就求出了A、A′的坐標(biāo).
②本題可分三種情況:
一:AD=A′D;二:AD=AA′;三:AA′=A′D;
可根據(jù)對(duì)稱軸方程設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式來列等量關(guān)系進(jìn)而可求出D的坐標(biāo).
解答:(1)解:令x=0,得到y(tǒng)=n,
∴A(0,n),且m>n>0
∵y=x2+mx+n=(x-m)2+m2+n,
∴P(m,m2+n).
根據(jù)題意得,∠ABC=∠AOC=∠OCB=90°,
∴四邊形ABCO是矩形.
∴BC=AO=B′C=n,AB=A′B′=OC=m.
∴A′點(diǎn)坐標(biāo)為(m+n,m).

(2)證明:連接EA′,AB′.
∵BC=B′C,∠BCB′=90°,
∴∠EB′O=45°.
∵∠EOB′=90°,
∴∠OEB′=45°,
∴OB′=OE=m+n.
∵AO=n,
∴EA=m,∵A′B′=m,
∴A′B′=EA(5分)
∵∠A′B′C=90°,
∴EA∥A′B′.
∴四邊形AEA′B′是平行四邊形.
∴對(duì)角線B′E與AA′互相平分.

(3)解:∵點(diǎn)A′(m+n,m)在拋物線上,
∴m=-(m+n)2+(m+n)m+n.
整理得:m-n=(m+n)(m-n)
∵m>n,即m-n≠0.
∴m+n=3,即n=3-m.
AB•BC=1,即mn=1.
把n=3-m代入m•n=1
得,m(3-m)=1.
解得(不合題意舍去)
∴拋物線解析式為y=-x2+x+1.
∴A'(3,2),A(0,1).
結(jié)論:在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)D,使△AA′D為等腰三角形.
點(diǎn)D的坐標(biāo)為:D1(2,1+),D2(2,1-),D3(2,5),D4(2,-1),D5(2,0).
點(diǎn)評(píng):本題為二次函數(shù)綜合題,考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),能力要求較高.考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=x2+4x與x軸分別相交于點(diǎn)B、O,它的頂點(diǎn)為A,連接AB,AO.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)以點(diǎn)A、B、O、P為頂點(diǎn)構(gòu)造直角梯形,請(qǐng)求一個(gè)滿足條件的頂點(diǎn)P的坐標(biāo).

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16、如圖,拋物線y=-x2+2x+m(m<0)與x軸相交于點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).當(dāng)x=x2-2時(shí),y
0(填“>”“=”或“<”號(hào)).

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已知如圖,拋物線y=x2+(k2+1)x+k+1的對(duì)稱軸是直線x=-1,且頂點(diǎn)在x軸上方.設(shè)M是直線x=-1左側(cè)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作x軸的垂線MG,垂足為G,過點(diǎn)M作直線x=-1的垂線MN,垂足為N,直線x=-1與x軸的交于H點(diǎn),若M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,矩形MNHG的周長為l.
(1)求出k的值;
(2)寫出l關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)是否存在點(diǎn)M,使矩形MNHG的周長最?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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(2013•揚(yáng)州)如圖,拋物線y=x2-2x-8交y軸于點(diǎn)A,交x軸正半軸于點(diǎn)B.
(1)求直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)有一寬度為1的直尺平行于y軸,在點(diǎn)A、B之間平行移動(dòng),直尺兩長邊所在直線被直線AB和拋物線截得兩線段MN、PQ,設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且0<m<3.試比較線段MN與PQ的大。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A,B兩點(diǎn).
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線頂點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)M′的坐標(biāo),并判斷四邊形AMBM′是何特殊平行四邊形.(不要求說明理由)

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