Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于D點(diǎn)，與邊AC交于E點(diǎn)，過(guò)D作DF⊥AC于F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；      
（2）若DE=，AB=5，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OD、AD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴AD是△ABC的中線，即D是BC的中點(diǎn)，
∵O是AB的中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；

（2）解：過(guò)D作DG⊥AB，垂足為G．
由（1）知，AD是等腰△ABC底邊BC的中線、高線，
∴AD平分∠BAC，
∴DE=DB=．
在Rt△ABD中，，
在Rt△ABD中，，即，
∴DG=2．
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴DF=DG=2，
在Rt△DEF中，．
在Rt△ADF中，．
∴AE=AF-EF=3．
分析：（1）如圖，連接OD、AD．欲證明DF是⊙O的切線，只需證得DF⊥OD；
（2）過(guò)D作DG⊥AB，垂足為G．根據(jù)等腰△ABC“三合一”的性質(zhì)推知AD平分∠BAC，則DE=DB=．在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理求得AD、的長(zhǎng)度，然后利用面積法求得
DG=2；然后由角平分線的性質(zhì)證得DF=DG=2，在Rt△DEF中，．在Rt△ADF中，，所以
AE=AF-EF=3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．