有一張長(zhǎng)方形紙片ABCD,其中AB=3,BC=4,將它折疊后,可使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合(圖1),也可使點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)E重合(圖2),也可使點(diǎn)C與AD上的點(diǎn)E重合(圖3),折痕為線段FG.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),則折痕FG的長(zhǎng)為______.
(2)如圖2,點(diǎn)E在AB上,且AE=1,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí),則折痕FG的長(zhǎng)為______
【答案】分析:(1)連接CG,可證△AHG∽△CBA,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出HG的長(zhǎng)度;易證△AHG≌△CHF,則FG=2HG;
(2)連接CG,EG,則FG垂直平分CE.易證△CHF∽△CBE,得出CH=2HF.在直角△BCE中,運(yùn)用勾股定理,可出CE的長(zhǎng)度,求出HF的值;設(shè)DG=y,由GE=GC,運(yùn)用勾股定理求出y的值,得到CG的長(zhǎng)度,從而在直角△CHG中,由勾股定理計(jì)算出GH的值,則GF=GH+HF;
(3)過點(diǎn)F作FH⊥AD,H為垂足,連接FE.在直角△HFE中,運(yùn)用勾股定理可求得y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并根據(jù)條件得到函數(shù)的定義域;
(4)(2)中點(diǎn)C與點(diǎn)E重合,且DG=1,即點(diǎn)E可以在邊AB上,同樣,可知點(diǎn)E可以在邊AD、BC上.
解答:解:(1)連接CG.
∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于FG對(duì)稱,
∴FG垂直平分AC,
∴∠AHG=90°,AH=AC=2.5.
在△AHG與△CBA中,∵∠AHG=∠CBA,∠GAH=∠ACB,
∴△AHG∽△CBA,
∴HG:AB=AH:BC,
∴HG=3×2.5÷4=
在△AHG與△CHF中,
∠GAH=∠HCF,AH=CH,∠AHG=∠CHF,
∴△AHG≌△CHF,
∴HG=HF,
∴FG=2HG=;(3分)
(2)連接CG,EG,則FG垂直平分CE.
在△CHF與△CBE中,∠CHF=∠B=90°,∠HCF=BCE,
∴△CHF∽△CBE,
∴HF:BE=CH:BC,
∴CH=2HF.
設(shè)HF=x,則CE=2CH=4x.
在△BCE中,∠B=90°,
∴CE2=BE2+BC2
∴16x2=4+16,
∴x=
設(shè)DG=y,則AG=4-y.
∵GE=GC,
∴12+(4-y)2=32+y2,
∴y=1.
∴GC2=DG2+CD2=1+9=10,
∴GH2=GC2-CH2=10-5=5,
∴GH=,
∴GF=GH+HF=+=;(3分)

(3)過點(diǎn)F作FH⊥AD,H為垂足,連接FE.則FE=FC=4-y,HE=x-y,F(xiàn)H=3,(3分)
由勾股定理有(x-y)2+32=(4-y)2,
從而得(1<x<);(1分)

(4)AB、AD、BC.(3分)
故答案為;AB、AD、BC.
點(diǎn)評(píng):本題考查了軸對(duì)稱、矩形的性質(zhì),全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識(shí),綜合性較強(qiáng),有一定難度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有一張長(zhǎng)方形紙片ABCD,其中AB=3,BC=4,將它折疊后,可使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合(圖1),也可使點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)E重合(圖2),也可使點(diǎn)C與AD上的點(diǎn)E重合(圖3),折痕為線段FG.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),則折痕FG的長(zhǎng)為
 

(2)如圖2,點(diǎn)E在AB上,且AE=1,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí),則折痕FG的長(zhǎng)為
 

(3)如圖3,當(dāng)C與AD上的點(diǎn)E重合,折痕FG與邊BC、CD分別相交于點(diǎn)F、G,AE=x,BF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)定義域.
(4)如果折疊后,使點(diǎn)C與這張紙的邊上點(diǎn)E重合,且DG=1,那么點(diǎn)E可以在邊
 
 上(寫出所有可能的情況).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,小紅用一張長(zhǎng)方形紙片ABCD進(jìn)行折紙,已知該紙片寬AB為8cm,長(zhǎng)BC為10cm.當(dāng)小紅折疊時(shí),頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處(折痕為AE).想一想,此時(shí)EC有多長(zhǎng)?用你學(xué)過的方法進(jìn)行解釋.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

有一張長(zhǎng)方形紙片ABCD,其中AB=3,BC=4,將它折疊后,可使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合(圖1),也可使點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)E重合(圖2),也可使點(diǎn)C與AD上的點(diǎn)E重合(圖3),折痕為線段FG.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí),則折痕FG的長(zhǎng)為______.
(2)如圖2,點(diǎn)E在AB上,且AE=1,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí),則折痕FG的長(zhǎng)為______.
(3)如圖3,當(dāng)C與AD上的點(diǎn)E重合,折痕FG與邊BC、CD分別相交于點(diǎn)F、G,AE=x,BF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)定義域.
(4)如果折疊后,使點(diǎn)C與這張紙的邊上點(diǎn)E重合,且DG=1,那么點(diǎn)E可以在邊______ 上(寫出所有可能的情況).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,有一張長(zhǎng)方形紙片,沿AE折疊,點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處,已知AB=8cm,BC=10cm。

求:(1)FC的長(zhǎng);(2)EC的長(zhǎng)。

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