Question

如圖，AD∥BC，點(diǎn)E、F在BC上，∠1=∠2，AF⊥DE，垂足為點(diǎn)O．
（1）求證：四邊形AEFD是菱形；
（2）若BE=EF=FC，求∠BAD+∠ADC的度數(shù)；
（3）若BE=EF=FC，設(shè)AB=m，CD=n，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明是平行四邊形，再證出一組鄰邊相等就可以證明菱形．
（2）把要求的角拆成幾個(gè)角，先分別求出一些角的和，最終求出∠BAD+∠ADC的度數(shù)；
（3）把求四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化成求三角形ABF的面積加上平行四邊形AFCD的面積，從而求出值．
解答：解：（1）證明：（方法一）∵AF⊥DE，
∴∠1+∠3=90°即：∠3=90°-∠1，
∴∠2+∠4=90°即：∠4=90°-∠2，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AE=EF，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠5，
∴AE=AD，
∴EF=AD，（2分）
∵AD∥EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，（1分）
又∵AE=AD，
∴四邊形AEFD是菱形，（1分）
（方法二）∵AD∥BC，
∴∠2=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠5，
∵AF⊥DE，
∴∠AOE=∠AOD=90°，
在△AEO和△ADO中，
∴△AEO≌△ADO，
∴EO=OD
在△AEO和△FEO中，
∴△AEO≌△FEO，
∴AO=FO，（2分）
∴AF與ED互相平分，（1分）
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
又∵AF⊥DE，
∴四邊形AEFD是菱形；（1分）

（2）（5分）∵菱形AEFD，
∴AD=EF，
∵BE=EF，
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，（1分）
∴AB∥DE，
∴∠BAF=∠EOF，
同理可知四邊形AFCD是平行四邊形，
∴AF∥DC，
∴∠EDC=∠EOF，
又∵AF⊥ED，
∴∠EOF=∠AOD=90°，
∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90°，（2分）
∴∠5+∠6=90°，（1分）
∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6+∠5+∠EDC=270°；（1分）

（3）（3分）由（2）知∠BAF=90°平行四邊形AFCD，
∴AF=CD=n，
又∵AB=m，，（1分）
由（2）知平行四邊形ABED，
∴DE=AB=m，
由（1）知OD=，（1分）
S_{四邊形ABCD}=S_△ABF+S_{四邊形AFCD}=mn．（1分）
點(diǎn)評：本題考查了菱形的判定定理，平行線的性質(zhì)，三角形的面積以及全等三角形的判定和性質(zhì)定理等．