Question

如圖，△ABC是等邊三角形，線段AD為BC邊上的中線，動(dòng)點(diǎn)P在直線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)以PC為一邊且在PC的下方做等邊△PCE，連接BE．
（1）求∠CAD的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合）時(shí)，求證：AP=BE；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），若點(diǎn)C關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)是Q點(diǎn)，求證：CQ=AC．

Answer 1

（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵線段AD為BC邊上的中線，
∴∠CAD=∠CAB=×60°=30°．

（2）證明：∵△ABC和△PCE是等邊三角形，
∴AC=BC，CP=CE，∠ACB=∠PCE=60°，
∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB，
∴∠ACP=∠ECB，
在△ACP和△BCE中

∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE．

（3）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，
∵△ACP≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
連接BQ，延長(zhǎng)BE交CQ于M，
∵C、Q關(guān)于直線BE對(duì)稱，
∴BM⊥CQ，CM=QM，
∴BC=BQ，
∴∠CBE=∠QBE=30°，
即∠CBQ=60°，
∵BC=BQ，
∴△CBQ是等邊三角形，
∴CQ=BC，
∴CQ=AC．
分析：（1）根據(jù)代表性三角形得出AC=AB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可．
（2）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AC=BC，CP=CE，∠ACB=∠PCE=60°，求出∠ACP=∠ECB，證出△ACP≌△BCE即可．
（3）連接BQ，根據(jù)軸對(duì)稱求出BC=BQ，根據(jù)全等三角形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求出∠CBQ=60°，得出等邊三角形CBQ，推出BC=CQ即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，軸對(duì)稱，等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．