Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)．過Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)NC＝________；MC＝________．(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？

(3)是否存在某一時(shí)刻t，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由；

(4)探究：t為何值時(shí)，△PMC為等腰三角形？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)NC＝1＋t，MC＝(1＋t)；2分 　　(2)∵QD∥PC，∴當(dāng)QD＝PC時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形 　　∴t＝4－t，∴t＝2 　　∴當(dāng)t＝2時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；3分 　　(3)若射線QN將△ABC的周長平分，則有MC＋NC＝AM＋BN＋AB 　　∴(1＋t)＋1＋t＝(3＋4＋5) 　　解得t＝；4分 　　∵M(jìn)N＝NC＝(1＋t) 　　∴S△MNC＝NC·MN＝(1＋t)×(1＋t)＝(1＋t)2 　　當(dāng)t＝時(shí)，S△MNC＝(1＋)2＝ 　　∵S△ABC＝××4×3＝3，∴S△MNC≠S△ABC；5分 　　∴不存在某一時(shí)刻t，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時(shí)平分 　　(4)若△PMC為等腰三角形，則： 　　①當(dāng)MP＝MC時(shí)(如圖1)，則有：NP＝NC 　　即PC＝2NC，∴4－t＝2(1＋t)解得t＝；6分 　�、诋�(dāng)CM＝CP時(shí)(如圖2)，則有：(1＋t)＝4－t解得t＝；7分 　　③當(dāng)PM＝PC時(shí)(如圖3)，則有： 　　在Rt△MNP中，PM2＝MN2＋PN2又MN＝NC＝(1＋t) 　　PN＝NC－PC＝(1＋t)－(4－t)＝2t－3 　　∴[(1＋t)]2＋(2t－3)2＝(4－t)2解得t1＝，t2＝－1(不合題意，舍去)；8分 　　(或過P作PE⊥AC于E，用△CPE∽△CAB得做運(yùn)算簡單) 　　綜上所述，當(dāng)t＝或t＝或t＝時(shí)，△PMC為等腰三角形．9分